√-х²+3х+4+√2-х
Чтобы решить задачу \( \sqrt{-x^2 + 3x + 4} + \sqrt{2 - x} \), давайте подробно проанализируем ее по шагам.
Шаг 1: Определение области определения выражения
Прежде всего, нам нужно определить область определения данного выражения, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
Для первого корня: \(-x^2 + 3x + 4 \geq 0\)
Чтобы найти, при каких \(x\) это неравенство выполняется, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:\[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \] Умножим все на \(-1\):
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Применим формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -3, c = -4 \).
Подставим значения:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Теперь разложим многочлен:
\[ -x^2 + 3x + 4 = -(x - 4)(x + 1) \]
Поэтому неравенство \( -x^2 + 3x + 4 \geq 0 \) выполняется в интервале \( [-1, 4] \).
Для второго корня: \(2 - x \geq 0\)
Это неравенство означает, что:\[ x \leq 2 \]
Шаг 2: Объединение условий
Теперь объединим условия по обеим сторонам:
- Из первого условия \( -1 \leq x \leq 4 \)
- Из второго условия \( x \leq 2\)
Совместно, это дает:
\[ -1 \leq x \leq 2 \]
Шаг 3: Решение и упрощение выражения
Теперь, когда мы определили область определения, можем работать с самим выражением \( \sqrt{-x^2 + 3x + 4} + \sqrt{2 - x} \).
Если мы подставим различные значения \(x\) из области определения, к примеру:
\(x = 0\):
\[ \sqrt{-0^2 + 3 \cdot 0 + 4} + \sqrt{2 - 0} = \sqrt{4} + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2} \]
\(x = 1\):
\[ \sqrt{-1^2 + 3 \cdot 1 + 4} + \sqrt{2 - 1} = \sqrt{-1 + 3 + 4} + \sqrt{1} = \sqrt{6} + 1 \]
\(x = 2\):
\[ \sqrt{-2^2 + 3 \cdot 2 + 4} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{-4 + 6 + 4} + \sqrt{0} = \sqrt{6} + 0 = \sqrt{6} \]
Заключение
Таким образом, мы определили область определения, протестировали выражение на нескольких значениях, и теперь можем исследовать его свойства (например, максимумы или минимумы) на данном интервале.
Если нужно углубиться в графический анализ или что-то еще, дайте знать!
