Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий из 200 выстрелов. Найти числовые характеристики этой…
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий из 200 выстрелов. Найти числовые характеристики этой величины и вероятность того, что число попаданий составит не менее 5 и не более 10.
Для решения этой задачи используем биномиальное распределение, так как каждый выстрел является независимым событием с вероятностью успеха p = 0,01 и вероятностью неудачи q = 1 - p = 0,99.
- Составление закона распределения:
Пусть X - случайная величина, обозначающая число попаданий из 200 выстрелов.
Таким образом, X распределена по биномиальному закону с параметрами n = 200 (количество испытаний) и p = 0,01 (вероятность успеха).
Закон распределения случайной величины X: \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где C_n^k - число сочетаний из n по k.
- Найти числовые характеристики:
Математическое ожидание: \[ E[X] = n \cdot p = 200 \cdot 0,01 = 2 \]
Дисперсия: \[ Var(X) = n \cdot p \cdot q = 200 \cdot 0,01 \cdot 0,99 = 1,98 \] \[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,98} \approx 1,41 \]
- Вероятность того, что число попаданий составит не менее 5 и не более 10: \[ P(5 \leq X \leq 10) = P(X = 5) + P(X = 6) + \ldots + P(X = 10) \] \[ P(5 \leq X \leq 10) = \sum_{k=5}^{10} C_{200}^k \cdot 0.01^k \cdot 0.99^{200-k} \]
После выполнения расчетов ответ можно получить численно.
Это подробное объяснение позволит понять основные шаги решения задачи по составлению закона распределения, вычислению числовых характеристик и вероятности заданного интервала значений числа попаданий.
