Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 дм. В треугольник вписан круг. Вычисли площадь вписанного круга (т 3). 2 Ответ: S =. дм
Решение:
Для начала определим радиус вписанного круга в равносторонний треугольник. У равностороннего треугольника все три стороны и радиус окружности вписанной в него круга связаны следующим образом:
- Радиус вписанного круга равен отношению периметра треугольника к удвоенной площади треугольника.
Поскольку у нас равносторонний треугольник со стороной длиной 12 дм, его периметр равен 3 * 12 = 36 дм.
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[S_{\text{тр}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}, \]
где \( a \) - длина стороны треугольника.
Подставляем значение стороны треугольника в формулу: \[ S_{\text{тр}} = \frac{{12^2 \sqrt{3}}}{4} = 36 \sqrt{3} \, \text{кв.дм}. \]
Теперь найдем радиус вписанного круга, используя формулу отношения радиуса к стороне треугольника: \[ r = \frac{{S_{\text{тр}}}}{P} = \frac{{36 \sqrt{3}}}{36} = \sqrt{3} \, \text{дм}. \]
Наконец, находим площадь вписанного круга по формуле для площади круга:
\[ S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \, \text{кв.дм}. \]
Поэтому площадь вписанного круга в равносторонний треугольник со стороной 12 дм равна \( 3\pi \, \text{кв.дм} \).
