Решение:
Для начала определим радиус вписанного круга в равносторонний треугольник. У равностороннего треугольника все три стороны и радиус окружности вписанной в него круга связаны следующим образом:
- Радиус вписанного круга равен отношению периметра треугольника к удвоенной площади треугольника.
Поскольку у нас равносторонний треугольник со стороной длиной 12 дм, его периметр равен 3 * 12 = 36 дм.
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
[S_{\text{тр}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}, ]
где ( a ) - длина стороны треугольника.
Подставляем значение стороны треугольника в формулу:
[ S_{\text{тр}} = \frac{{12^2 \sqrt{3}}}{4} = 36 \sqrt{3} , \text{кв.дм}. ]
Теперь найдем радиус вписанного круга, используя формулу отношения радиуса к стороне треугольника:
[ r = \frac{{S_{\text{тр}}}}{P} = \frac{{36 \sqrt{3}}}{36} = \sqrt{3} , \text{дм}. ]
Наконец, находим площадь вписанного круга по формуле для площади круга:
[ S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi , \text{кв.дм}. ]
Поэтому площадь вписанного круга в равносторонний треугольник со стороной 12 дм равна ( 3\pi , \text{кв.дм} ).
