каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. при каком по…

Дано:

• После первого отскока, мячик подпрыгнул на 4 м.
• При каждом следующем прыжке он поднимался на высоту, которая в два раза меньше предыдущей.
• Необходимо найти при каком по счету прыжке мячик не достигнет высоты 22 см.

Давайте обозначим высоту первого прыжка как \(x\) м. Первоначально \(x = 4\) м.

Затем, после следующего прыжка, мячик подпрыгнет на высоту \(x/2\) м, после чего на \(x/4\) м и так далее, уменьшаясь в два раза каждый раз.

Таким образом, общая высота, на которую подпрыгнул мячик после \(n\)-го прыжка, можно выразить рекуррентной формулой:

\[S_n = 4 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)\]

Для того чтобы найти, после какого конкретного прыжка мячик не достигнет высоты 22 см (или 0.22 м), мы можем записать уравнение:

\[S_n = 0.22\]

Теперь найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S_n = 4 \cdot \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}}\right)\] \[S_n = 4 \cdot (2 - (1/2)^n)\]

Уравнение для нахождения значения \(n\) будет:

\[4 \cdot (2 - (1/2)^n) = 0.22\] \[8 - 4 \cdot (1/2)^n = 0.22\] \[4 \cdot (1/2)^n = 7.78\] \[(1/2)^n = 1.945\]

Найдем округленное значение \(n\):

\[n = \log_{1/2}(1.945)\] \[n \approx \log_{1/2}(2) = 1\]

Ответ: Мячик не достигнет высоты 22 см после 1-го прыжка.