Дано:
- После первого отскока, мячик подпрыгнул на 4 м.
- При каждом следующем прыжке он поднимался на высоту, которая в два раза меньше предыдущей.
- Необходимо найти при каком по счету прыжке мячик не достигнет высоты 22 см.
Давайте обозначим высоту первого прыжка как $x$ м. Первоначально $x = 4$ м.
Затем, после следующего прыжка, мячик подпрыгнет на высоту $x/2$ м, после чего на $x/4$ м и так далее, уменьшаясь в два раза каждый раз.
Таким образом, общая высота, на которую подпрыгнул мячик после $n$-го прыжка, можно выразить рекуррентной формулой:
$$S_n = 4 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)$$
Для того чтобы найти, после какого конкретного прыжка мячик не достигнет высоты 22 см (или 0.22 м), мы можем записать уравнение:
$$S_n = 0.22$$
Теперь найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$S_n = 4 \cdot \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}}\right)$$
$$S_n = 4 \cdot (2 - (1/2)^n)$$
Уравнение для нахождения значения $n$ будет:
$$4 \cdot (2 - (1/2)^n) = 0.22$$
$$8 - 4 \cdot (1/2)^n = 0.22$$
$$4 \cdot (1/2)^n = 7.78$$
$$(1/2)^n = 1.945$$
Найдем округленное значение $n$:
$$n = \log_{1/2}(1.945)$$
$$n \approx \log_{1/2}(2) = 1$$
Ответ: Мячик не достигнет высоты 22 см после 1-го прыжка.
