.
Давайте разберем каждую задачу пошагово.
Задача 2
Условие:
Если две синусоидальные величины сдвинуть по фазе на 90°, то при их сложении амплитудное значение результирующей величины будет ли равно сумме амплитуд слагаемых величин?
Решение:
Синусоидальные величины можно представить как векторы в комплексной плоскости. Если две синусоиды отличаются фазой на 90°, они будут взаимно перпендикулярны.
- Пусть первая величина: \( A \sin(\omega t) \)
- Вторая величина: \( B \cos(\omega t) \)
При сложении:
\( A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) \)
Это выражение эквивалентно амплитуде результирующей волны:
\[ \sqrt{A^2 + B^2} \]
Таким образом, амплитуда результирующей волны не равна сумме амплитуд \( A + B \), потому что:
\[ \sqrt{A^2 + B^2} \neq A + B \]
Задача 4
Условие:
Два тока заданы уравнениями \( i_1 = 50\sin(\omega t + 90°) \); \( i_2 = 30\sin(\omega t - 30°) \). Постройте векторы токов \( i_1 \) = 13; \( i_2 \) = 45.
Решение:
Чтобы построить векторы токов, определим их амплитуды и направления:
Для \( i_1 = 50\sin(\omega t + 90°) \):
- Амплитуда = 50
- Фаза \( 90° \), это соответствует косинусу, но с амплитудой 50.
Для \( i_2 = 30\sin(\omega t - 30°) \):
- Амплитуда = 30
- Фаза = \(-30°\)
Используя комплексное представление:
- \( i_1 = 50j \) (так как \( \sin(\omega t + 90°) \rightarrow 50j \))
- \( i_2 = 30(\cos(-30°) + j\sin(-30°)) = 30(\sqrt{3}/2 - j/2) \)
Постройте векторное диаграмму, отметив:
- Вектор \( i_1 \) на оси мнимых чисел.
- Вектор \( i_2 \) отклонен на \(-30°\) от действительной оси.
Задача 5
Условие: Два тока имеют равные амплитуды \( i_1 = 50\sin(\omega t) \); \( i_2 = 50\sin(\omega t - 90°) \). Напишите формулу тока \( i \), составляющего их сумму: \( i = i_1 + i_2 \).
Решение:
- \( i_1 = 50\sin(\omega t) \) находится на действительной оси.
- \( i_2 = 50\cos(\omega t) \) из-за фазового сдвига на \(-90°\) задается как косинус.
Суммируя:
\[ i = 50\sin(\omega t) + 50\cos(\omega t) \]
Сумма выражается в виде:
\[ i = \sqrt{50^2 + 50^2}\sin(\omega t + \phi) \]
где \( \phi = \arctan\left(\frac{50}{50}\right) = 45° \)
\[ i = 50\sqrt{2}\sin(\omega t + 45°) \]
Задача 6
Условие:
Два параллельных вектора сдвинуты по фазе на полпериода и имеют равные амплитуды. Чему равен ток в проводе до разделения цепи?
Решение:
- Если фаза изменяется на полпериода, то фаза \( \pm 180° \), что приведет к переходу от \( A \to -A \).
Амплитуды векторов равны и равные против.
Их сумма будет нулевой, то есть результирующий ток:
\[ i = A - A = 0 \]
Таким образом, ток в проводе до разделения цепи равен нулю.
