Напиши полное доказательство теоремы "Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярно к этому радиусу, то она является касательной".

Данная теорема связана с свойствами касательных к окружности. Докажем её:

Пусть дана окружность с центром в точке O и точкой A на окружности. Пусть прямая l проходит через точку A и является перпендикулярной к радиусу OA.

1. Проведем радиус OA и отметим точку B на прямой l, так что AB – касательная к окружности.
2. Так как радиус проведен к касательной, угол между радиусом и касательной является прямым углом, т.е. ∠OAB = 90°.
3. Также угол между радиусом и прямой l (перпендикулярной к радиусу) также является прямым углом, т.е. ∠OAB = 90°.
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что угол между прямой l и касательной AB равен 90°.
5. Таким образом, прямая l проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, и при этом является касательной к окружности.

Таким образом, доказано, что если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярно к этому радиусу, то она является касательной.