Решить

Давайте разберём задачи по порядку: ### Задание 103: Сократите дробь 1. \(\frac{x^2 - 11}{x - 144}\) Чтобы сократить дробь, попробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Однако здесь нет очевидного способа разложить или сократить дробь, поэтому она остаётся в текущем виде. 2. \(\frac{\sqrt{x} - 3}{3\sqrt{x}}\) Здесь можно вынести \(\sqrt{x}\) в числителе как множитель: \[ \frac{\sqrt{x} - 3}{3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(1 - \frac{3}{\sqrt{x}})}{3\sqrt{x}} = \frac{1 - \frac{3}{\sqrt{x}}}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] 3. \(\frac{\sqrt{x - 12}}{\sqrt{x}}\) Упростим дробь, разделив подкоренные выражения: \[ \frac{\sqrt{x - 12}}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{x - 12}{x}} = \sqrt{1 - \frac{12}{x}} \] 4. \(\frac{17\sqrt{17}}{\sqrt{17}}\) Здесь можно сразу сократить \(\sqrt{17}\): \[ \frac{17\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = 17 \] 5. \(\frac{\sqrt{2} \cdot m - 12/\sqrt{m}}{9 - 36}\) Упростим выражение в знаменателе: \[ 9 - 36 = -27 \] Теперь выразим числитель: \[ \frac{\sqrt{2} \cdot m - \frac{12}{\sqrt{m}}}{-27} \] Видимых сокращений нет. 6. \(\frac{\sqrt{21} - 3}{7 - \sqrt{21}}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя \(7 + \sqrt{21}\) для рационализации: \[ \frac{(\sqrt{21} - 3)(7 + \sqrt{21})}{(7 - \sqrt{21})(7 + \sqrt{21})} \] Вычислим знаменатель с использованием формулы разности квадратов: \[ (7 - \sqrt{21})(7 + \sqrt{21}) = 49 - 21 = 28 \] Вычислим числитель: \[ (\sqrt{21} - 3)(7 + \sqrt{21}) = 7\sqrt{21} + 21 - 21 - 3\sqrt{21} = 4\sqrt{21} - 21 \] Получим окончательный вариант выражения: \[ \frac{4\sqrt{21} - 21}{28} \] Каждую дробь мы упростили, предоставив пошаговые объяснения для понимания.