Решить
Давайте разберём задачи по порядку:
Задание 103: Сократите дробь
\(\frac{x^2 - 11}{x - 144}\)
Чтобы сократить дробь, попробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Однако здесь нет очевидного способа разложить или сократить дробь, поэтому она остаётся в текущем виде.
\(\frac{\sqrt{x} - 3}{3\sqrt{x}}\)
Здесь можно вынести \(\sqrt{x}\) в числителе как множитель:
\[ \frac{\sqrt{x} - 3}{3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(1 - \frac{3}{\sqrt{x}})}{3\sqrt{x}} = \frac{1 - \frac{3}{\sqrt{x}}}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{x}} \]
\(\frac{\sqrt{x - 12}}{\sqrt{x}}\)
Упростим дробь, разделив подкоренные выражения:
\[ \frac{\sqrt{x - 12}}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{x - 12}{x}} = \sqrt{1 - \frac{12}{x}} \]
\(\frac{17\sqrt{17}}{\sqrt{17}}\)
Здесь можно сразу сократить \(\sqrt{17}\):
\[ \frac{17\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = 17 \]
\(\frac{\sqrt{2} \cdot m - 12/\sqrt{m}}{9 - 36}\)
Упростим выражение в знаменателе:
\[ 9 - 36 = -27 \]
Теперь выразим числитель:
\[ \frac{\sqrt{2} \cdot m - \frac{12}{\sqrt{m}}}{-27} \]
Видимых сокращений нет.
\(\frac{\sqrt{21} - 3}{7 - \sqrt{21}}\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя \(7 + \sqrt{21}\) для рационализации:
\[ \frac{(\sqrt{21} - 3)(7 + \sqrt{21})}{(7 - \sqrt{21})(7 + \sqrt{21})} \]
Вычислим знаменатель с использованием формулы разности квадратов:
\[ (7 - \sqrt{21})(7 + \sqrt{21}) = 49 - 21 = 28 \]
Вычислим числитель:
\[ (\sqrt{21} - 3)(7 + \sqrt{21}) = 7\sqrt{21} + 21 - 21 - 3\sqrt{21} = 4\sqrt{21} - 21 \]
Получим окончательный вариант выражения:
\[ \frac{4\sqrt{21} - 21}{28} \]
Каждую дробь мы упростили, предоставив пошаговые объяснения для понимания.
