Докажите, что при a>0 и b>0 верно неравенство (a+b) (ab+16) >16ab;

**Цель: Понять** Дано неравенство: $$ (a+b)(ab+16) > 16ab $$ **Шаг 1:** Раскроем скобки: $$ a^2b + 16a + ab^2 + 16b > 16ab $$ **Шаг 2:** Перегруппируем члены: $$ a^2b - ab^2 - 16a + 16b + 16 > 0 $$ **Шаг 3:** Факторизуем: $$ ab(a - b) - 16(a - b) + 16 > 0 $$ $$ (ab - 16)(a - b) + 16 > 0 $$ **Шаг 4:** Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то их произведение $ab > 0$. Также, $ab - 16 > 0$ при данных условиях. Итак, уравнение сокращается до: $$ 16(a - b) + 16 > 0 $$ $$ 16(a-b+1) > 0 $$ $$ a - b + 1 > 0 $$ $$ a - b > -1 $$ Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $a$ и $b$ не могут быть равными и тем более меньше 0. Значит, $a - b$ - положительное число, поэтому $a - b > -1$ верно. Таким образом, неравенство $(a+b)(ab+16) > 16ab$ верно при условиях $a > 0$ и $b > 0$.