докажите, что при a>0 и b>0 верно неравенство (a+b) (ab+16) >16ab;

Цель: Понять

Дано неравенство:

\[ (a+b)(ab+16) > 16ab \]

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[ a^2b + 16a + ab^2 + 16b > 16ab \]

Шаг 2: Перегруппируем члены:

\[ a^2b - ab^2 - 16a + 16b + 16 > 0 \]

Шаг 3: Факторизуем:

\[ ab(a - b) - 16(a - b) + 16 > 0 \] \[ (ab - 16)(a - b) + 16 > 0 \]

Шаг 4: Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), то их произведение \(ab > 0\). Также, \(ab - 16 > 0\) при данных условиях.

Итак, уравнение сокращается до:

\[ 16(a - b) + 16 > 0 \] \[ 16(a-b+1) > 0 \] \[ a - b + 1 > 0 \] \[ a - b > -1 \]

Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a\) и \(b\) не могут быть равными и тем более меньше 0. Значит, \(a - b\) - положительное число, поэтому \(a - b > -1\) верно.

Таким образом, неравенство \((a+b)(ab+16) > 16ab\) верно при условиях \(a > 0\) и \(b > 0\).