докажите, что при a>0 и b>0 верно неравенство (a во второй степени +4b)(4b+25) >80ab

Решение:

Для доказательства данного неравенства нам нужно раскрыть скобки слева и упростить выражение.

Итак, у нас дано неравенство:

\[(a^2 + 4b)(4b + 25) > 80ab\]

Сначала раскроем скобки:

\[a^2 * 4b + a^2 * 25 + 4b * 4b + 4b * 25 > 80ab\] \[4a^2b + 25a^2 + 16b^2 + 100b > 80ab\]

Теперь приведем подобные члены:

\[4a^2b - 80ab + 25a^2 + 16b^2 + 100b > 0\] \[4ab( a - 20) + 25(a^2 + 4b) > 0\]

Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), то все выражения в скобках будут положительными.

Таким образом, мы можем заключить, что данное неравенство верно при условии \(a > 0\) и \(b > 0\).

Это решение показывает, как раскрыть скобки, упростить выражение и проверить, что неравенство выполняется при заданных условиях.