Докажите, что при a>0 и b>0 верно неравенство (a во второй степени +4b)(4b+25) >80ab

**Решение:** Для доказательства данного неравенства нам нужно раскрыть скобки слева и упростить выражение. Итак, у нас дано неравенство: $$(a^2 + 4b)(4b + 25) > 80ab$$ Сначала раскроем скобки: $$a^2 * 4b + a^2 * 25 + 4b * 4b + 4b * 25 > 80ab$$ $$4a^2b + 25a^2 + 16b^2 + 100b > 80ab$$ Теперь приведем подобные члены: $$4a^2b - 80ab + 25a^2 + 16b^2 + 100b > 0$$ $$4ab( a - 20) + 25(a^2 + 4b) > 0$$ Так как $a > 0$ и $b > 0$, то все выражения в скобках будут положительными. Таким образом, мы можем заключить, что данное неравенство верно при условии $a > 0$ и $b > 0$. Это решение показывает, как раскрыть скобки, упростить выражение и проверить, что неравенство выполняется при заданных условиях.