Решите неравенство . Выберите верный ответ.

Чтобы решить неравенство

\[ \frac{2x - 3}{x + 4} \leq 0, \]

разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Найдите нули числителя и знаменателя

1. Числитель: \(2x - 3 = 0\)
   \[ 2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} \]

2. Знаменатель: \(x + 4 = 0\)
   \[ x = -4 \]

Шаг 2: Определение знаков в интервалах

Значения \(x = \frac{3}{2}\) и \(x = -4\) разделяют числовую прямую на интервалы. Мы проверим знак выражения \(\frac{2x - 3}{x + 4}\) внутри этих интервалов.

• Интервалы: \((-\infty, -4)\), \((-4, \frac{3}{2})\), \((\frac{3}{2}, \infty)\)

3. Проверка знаков:
   • Для \(x \in (-\infty, -4)\), например, \(x = -5\):
     \(\frac{2(-5) - 3}{-5 + 4} = \frac{-10 - 3}{-1} = 13\) (положительное).
   • Для \(x \in (-4, \frac{3}{2})\), например, \(x = 0\):
     \(\frac{2(0) - 3}{0 + 4} = \frac{-3}{4}\) (отрицательное).
   • Для \(x \in (\frac{3}{2}, \infty)\), например, \(x = 2\):
     \(\frac{2(2) - 3}{2 + 4} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}\) (положительное).

Шаг 3: Объединение и ответ

• \(\frac{2x - 3}{x + 4} \leq 0\) включает те интервалы, где дробь равна нулю или отрицательна. Это происходит на интервалах:
  • \([-4, \frac{3}{2}]\)

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in [-4, \frac{3}{2}] \]

Вариант, соответствующий этому решению, обозначен как:

• \([-4, \frac{3}{2}]\)

Таким образом, правильный ответ:

\(\; (-\infty, -4) \cup [-4, 1.5] \).