Геометрическая прогрессия Для геометрической прогрессии известно, что разность между её пятым и третьим членами равна 48, а разность между четвёртым и вторым членами равна 24 .…

Дано: Разность между 5-м и 3-м членами равна 48, то есть \( a_5 - a_3 = 48 \) -----(1) Разность между 4-м и 2-м членами равна 24, то есть \( a_4 - a_2 = 24 \) -----(2)

Общее свойство геометрической прогрессии: \[ a_{n} = a_1 \cdot r^{(n-1)} \] где: \( a_n \) - n-й член прогрессии, \( a_1 \) - первый член (начальный член) прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии.

Используем это свойство для нахождения решения:

Шаг 1: Находим выражение для 5-го и 3-го членов: \[ a_5 = a_1 \cdot r^4 \] \[ a_3 = a_1 \cdot r^2 \]

Шаг 2: Подставляем найденные выражения в уравнение (1): \[ a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^2 = 48 \] \[ a_1 \cdot (r^4 - r^2) = 48 \] \[ a_1 \cdot r^2 \cdot (r^2 - 1) = 48 \]

Шаг 3: Находим выражение для 4-го и 2-го членов: \[ a_4 = a_1 \cdot r^3 \] \[ a_2 = a_1 \cdot r \]

Шаг 4: Подставляем найденные выражения в уравнение (2): \[ a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r = 24 \] \[ a_1 \cdot (r^3 - r) = 24 \] \[ a_1 \cdot r \cdot (r^2 - 1) = 24 \]

Шаг 5: Решаем систему уравнений.
Из уравнений Шага 2 и Шага 4: \[ a_1 \cdot r^2 \cdot (r^2 - 1) = 48 \] \[ a_1 \cdot r \cdot (r^2 - 1) = 24 \]

Разделим одно уравнение на другое: \[ \frac{a_1 \cdot r^2 \cdot (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r \cdot (r^2 - 1)} = \frac{48}{24} \] \[ r = 2 \]

Шаг 6: Находим первый член \( a_1 \): Подставляем \( r = 2 \) в любое уравнение (допустим, в Шаг 2): \[ a_1 \cdot 2^2 \cdot (2^2 - 1) = 48 \] \[ a_1 \cdot 4 \cdot 3 = 48 \] \[ a_1 \cdot 12 = 48 \] \[ a_1 = 48 / 12 \] \[ a_1 = 4 \]

Таким образом, первый член данной геометрической прогрессии равен 4, а знаменатель равен 2.