Дано:
Разность между 5-м и 3-м членами равна 48, то есть ( a_5 - a_3 = 48 ) -----(1)
Разность между 4-м и 2-м членами равна 24, то есть ( a_4 - a_2 = 24 ) -----(2)
Общее свойство геометрической прогрессии:
[ a_{n} = a_1 \cdot r^{(n-1)} ]
где:
( a_n ) - n-й член прогрессии,
( a_1 ) - первый член (начальный член) прогрессии,
( r ) - знаменатель прогрессии.
Используем это свойство для нахождения решения:
Шаг 1: Находим выражение для 5-го и 3-го членов:
[ a_5 = a_1 \cdot r^4 ]
[ a_3 = a_1 \cdot r^2 ]
Шаг 2: Подставляем найденные выражения в уравнение (1):
[ a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^2 = 48 ]
[ a_1 \cdot (r^4 - r^2) = 48 ]
[ a_1 \cdot r^2 \cdot (r^2 - 1) = 48 ]
Шаг 3: Находим выражение для 4-го и 2-го членов:
[ a_4 = a_1 \cdot r^3 ]
[ a_2 = a_1 \cdot r ]
Шаг 4: Подставляем найденные выражения в уравнение (2):
[ a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r = 24 ]
[ a_1 \cdot (r^3 - r) = 24 ]
[ a_1 \cdot r \cdot (r^2 - 1) = 24 ]
Шаг 5: Решаем систему уравнений.
Из уравнений Шага 2 и Шага 4:
[ a_1 \cdot r^2 \cdot (r^2 - 1) = 48 ]
[ a_1 \cdot r \cdot (r^2 - 1) = 24 ]
Разделим одно уравнение на другое:
[ \frac{a_1 \cdot r^2 \cdot (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r \cdot (r^2 - 1)} = \frac{48}{24} ]
[ r = 2 ]
Шаг 6: Находим первый член ( a_1 ):
Подставляем ( r = 2 ) в любое уравнение (допустим, в Шаг 2):
[ a_1 \cdot 2^2 \cdot (2^2 - 1) = 48 ]
[ a_1 \cdot 4 \cdot 3 = 48 ]
[ a_1 \cdot 12 = 48 ]
[ a_1 = 48 / 12 ]
[ a_1 = 4 ]
Таким образом, первый член данной геометрической прогрессии равен 4, а знаменатель равен 2.
