Правильный шестиугольник вписан в окружность. Известно, что периметр квадрата, описанного около этой окружности равен 20 см.

Для решения данной задачи, нам предстоит использовать свойства вписанного правильного шестиугольника и описанного вокруг него квадрата.

Дано:
Периметр описанного вокруг шестиугольника квадрата равен 20 см.

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата через \( a \).
2. Поскольку квадрат описывает окружность, его сторона \( a \) равна диаметру окружности.
3. Радиус окружности \( r \) равен половине длины диаметра, т.е. \( r = \frac{a}{2} \).
4. Для правильного шестиугольника вписанного в эту окружность, длина каждой его стороны также равна \( r \), т.е. стороны шестиугольника равны \( r \).
5. Поскольку правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон, периметр шестиугольника равен \( 6r = 6\frac{a}{2} = 3a \).
6. Дано, что периметр равен 20 см, поэтому \( 3a = 20 \).
7. Решив уравнение, получим:
   \( a = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \).

Ответ:
Сторона квадрата равна 6 \( \frac{2}{3} \) см.