Вписанно-описанная окружность. Правильный шестиугольник вписан в окружность. Известно, что периметр квадрата, описанного около этой окружности равен 20 см. Найдите радиус окружности. Найдите периметр правильного шестиугольника.

Для решения задачи сначала найдем радиус окружности, в которую вписан правильный шестиугольник. Пусть радиус окружности равен \( r \). 1. Найдем периметр квадрата, описанного около этой окружности: По свойству вписанного угла, диагонали квадрата перпендикулярны и делятся пополам радиусом окружности. Поэтому, удвоенный радиус окружности будет равен диагонали квадрата. Периметр квадрата равен четырем длинам его сторон, а так как диагональ квадрата делится удвоенным радиусом на две части, то одна сторона квадрата равна \(2r\). Таким образом, периметр квадрата: \(4 * 2r = 8r = 20 \, \text{см}\). Решаем уравнение: \[ 8r = 20 \] \[ r = \frac{20}{8} \] \[ r = 2.5 \, \text{см} \] Теперь, когда мы знаем радиус окружности (\(r = 2.5 \, \text{см}\)), можем найти периметр правильного шестиугольника. 2. Периметр правильного шестиугольника: При вписанном правильном шестиугольнике в окружность, длина его стороны равна длине радиуса окружности (так как радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любого внешнего угла полигона). Таким образом, длина стороны шестиугольника равна \( 2.5 \, \text{см} \). Поскольку правильный шестиугольник состоит из шести равных сторон, периметр шестиугольника равен \( 6 \times 2.5 = 15 \, \text{см} \). Итак, радиус окружности равен \( 2.5 \, \text{см} \), а периметр правильного шестиугольника равен \( 15 \, \text{см} \)