Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9,10 и 11. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10 . Введите целое число или десятичную дробь… Найдите длину наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10.

**Решение:** Для решения данной задачи, давайте обозначим следующие величины: - Пусть $a = 9$ - длина одной стороны треугольника. - Пусть $b = 10$ - длина второй стороны треугольника, к которой касается окружность. - Пусть $c = 11$ - длина третьей стороны треугольника. Для любого треугольника можно сформулировать следующее правило: **Теорема о касательной к окружности**. Она утверждает, что если из точки касания до точки пересечения касательной с окружностью провести отрезки, то они будут радиусами и будут равны между собой. Поскольку мы знаем, что касательная к окружности касается стороны треугольника, равной 10, то точка касания разделит эту сторону на два отрезка. Один из этих отрезков - от точки касания до одного из вершин треугольника, а другой - до точки пересечения с другой стороной треугольника. Пусть $x$ - длина меньшего отрезка, на который точка касания делит сторону $b = 10$. Пусть $y$ - длина большего отрезка, на который точка касания делит сторону $b = 10$. Теперь применим теорему о касательной к окружности: - Меньший отрезок касания и радиус равны. - Больший отрезок касания и радиус равны. Мы знаем, что радиус окружности равен прямой перпендикуляр, проведенный из центра окружности до точки касания. Известно, что он делит сторону $b = 10$ треугольника пополам. Таким образом, мы можем сформулировать уравнения: 1. $x + y = 10$ (сумма длин отрезков равна стороне 10 треугольника) 2. $xy = r^2$ (произведение длин отрезков равно квадрату радиуса) Теперь можем найти длину меньшего отрезка $x$ и длину большего отрезка $y$. **Наибольший отрезок $y$:** Из уравнений: 1. $x + y = 10$ 2. $xy = r^2$ Подставляем $x = 10-y$ из первого уравнения во второе: $y(10-y) = r^2$ $-y^2 + 10y = r^2$ Это квадратное уравнение, и чтобы найти максимальное значение $y$, нам нужно максимизировать его. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c$, вершина будет находиться по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае, $y = -\frac{10}{-2} = 5$. Таким образом, наибольший отрезок $y = 5$. **Наименьший отрезок $x$:** Мы уже знаем, что $x = 10-y$, поэтому: $x = 10 - 5 = 5$ Таким образом, наименьший отрезок $x = 5$. Итак, длина наибольшего отрезка, на который точка касания делит сторону, равную 10, равна 5, а длина наименьшего отрезка равна 5.