sin 75°

Решение:

Угол 75° можно представить как сумму 45° и 30°.

Так как значений синуса 45° и 30° мы знаем, воспользуемся формулой для синуса суммы углов:
\[ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \]

Здесь \( a = 45° \) и \( b = 30° \).

1. Найдем \(\sin 45°\) и \(\cos 45°\): \[ \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \] (так как в прямоугольном треугольнике с катетами 1 и 1 гипотенуза будет \(\sqrt{2}\), а синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе) \[ \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \] (так как косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе)

2. Найдем \(\sin 30°\) и \(\cos 30°\): \[ \sin 30° = \frac{1}{2} \] (в прямоугольном треугольнике с катетами 1 и 2 гипотенуза равна 2, синус угла 30° равен \(\frac{противолежащий катет}{гипотенуза} = \frac{1}{2}\)) \[ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \] (здесь косинус угла 30° равен \(\frac{прилежащий катет}{гипотенуза} = \frac{\sqrt{3}}{2}\))

3. Теперь, подставим значения синусов и косинусов в формулу синуса суммы углов: \[ \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° \] \[ = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \] \[ = \frac{\sqrt{6} + 2}{4} \]

Таким образом, \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + 2}{4}\).