Найди радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник  A B C ABC, где  ∠B=90 ∘ , AB=21,  BC=12 √2​.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, где угол B = 90°, AB = 21 и BC = 12√2. 1. Сначала мы знаем, что вписанный прямоугольный треугольник содержит окружность, центр которой пересекает три его стороны в точках касания. Пусть O - центр вписанной окружности, радиус которой мы хотим найти. 2. Так как треугольник ABC прямоугольный, то острый угол на вершину C равен 90°. В таком случае, AB и BC являются катетами, а гипотенузой является гипотетическая линия, соединяющая точку C с центром окружности O. 3. Пусть r - радиус вписанной окружности, тогда мы можем применить формулу для радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника: r = (AB + BC - AC) / 2. 4. Для нахождения стороны AC, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника, применим теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2. 5. Подставив значения AB и BC, получим AC^2 = 21^2 + (12√2)^2 = 441 + 288 = 729. Таким образом, AC = √729 = 27. 6. Теперь можем найти радиус вписанной окружности: r = (21 + 12√2 - 27) / 2 = (33 - 27) / 2 = 6 / 2 = 3. Итак, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC равен 3.