На стороне N K прямоугольника MNKP , укоторого MN = 24 и MP = 34, отмечена точка L так, что угол LMN = 45°. Найди LP.

**Решение:** Дано: - Стороны прямоугольника: \(MN = 24\) и \(MP = 34\). - Угол \(LMN = 45^\circ\). Мы видим, что угол \(LMN\) равен \(45^\circ\), что является половиной прямого угла. Это указывает на то, что треугольник \(LMN\) является прямоугольным. Так как \(LMN\) является прямоугольным треугольником, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны \(LP\). По теореме Пифагора: \[ LM^2 = LN^2 + MN^2 \] Так как \(LMN\) — прямоугольный треугольник, \(LN = MN = 24\). Подставляем известные значения: \[ LM^2 = 24^2 + 24^2 \] \[ LM^2 = 576 + 576 \] \[ LM^2 = 1152 \] Находим длину стороны \(LM\): \[ LM = \sqrt{1152} \] \[ LM = \sqrt{2 \cdot 576} \] \[ LM = 24\sqrt{2} \] Таким образом, длина стороны \(LM = 24\sqrt{2}\). Теперь, так как \(LP\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(LMN\), а сторона \(LN\) и \(MN\) его катеты, можно применить тот же принцип: По теореме Пифагора: \[ LP^2 = LM^2 + MP^2 \] Подставляем известные значения: \[ LP^2 = (24\sqrt{2})^2 + 34^2 \] \[ LP^2 = 576 \cdot 2 + 1156 \] \[ LP^2 = 1152 + 1156 \] \[ LP^2 = 2308 \] Находим длину стороны \(LP\): \[ LP = \sqrt{2308} \] \[ LP = \sqrt{4 \cdot 577} \] \[ LP = 2\sqrt{577} \] Итак, длина стороны \(LP = 2\sqrt{577}\).