Определи, какой заряд протечёт через резистор в цепи после замыкания ключа (рис. 1). ЭДС и внутреннее сопротивление источника соответственно E = 25 В и т = 8 Ом, сопротивление…
Определи, какой заряд протечёт через резистор в цепи после замыкания ключа (рис. 1). ЭДС и внутреннее сопротивление источника соответственно E = 25 В и т = 8 Ом, сопротивление резистора R = 40 Ом. Индуктивность катушки L = 45 мГн. (Ответ округли до десятых.)
Для решения данной задачи о заряде, который протечет через резистор в цепи после замыкания ключа, будем использовать законы Кирхгофа и уравнения, описывающие поведение индуктивного контура.
- После замыкания ключа в цепи возникает изменяющийся во времени ток, который вызывает индуктивную обратную ЭДС, препятствующую росту тока. Это приводит к задержке в изменении тока. Мы можем использовать следующее уравнение для описания этого процесса:
\[ E = L \frac{di}{dt} + Ri + V_R \]
Где:
- \( E \) - электродвижущая сила источника (ЭДС) в вольтах,
- \( L \) - индуктивность катушки в генри,
- \( \frac{di}{dt} \) - производная тока по времени,
- \( R \) - сопротивление резистора в омах,
- \( i \) - ток в цепи в амперах,
- \( V_R \) - напряжение на резисторе.
В начальный момент времени после замыкания ключа ток в цепи равен нулю, поэтому электродвижущая сила \( E \) дает начальный ток \( i_0 = \frac{E}{R} \).
Сначала определим время \( \tau \), за которое ток в цепи устанавливается. Для этого заметим, что \( i(\tau) = \frac{E}{R} (1 - e^{-\frac{R\tau}{L}}) \). После устранения знаменателя и преобразования уравнения, найдем время установления:
\[ i(\tau) = \frac{E}{R} e^{-\frac{R\tau}{L}} \]
\[ \frac{R \tau}{L} = -\ln\left(1 - \frac{i(\tau)R}{E}\right) \]
\[ \tau = -\frac{L}{R} \ln\left(1 - \frac{i(\tau)R}{E}\right) \]Теперь, найдем заряд \( q \), протекший через резистор за время \(\tau\).
\[ q = \int_{0}^{\tau} i \, dt \]Подставим известные значения: \( R = 40 \, \Omega \), \( L = 45 \, мГн = 0.045 \, Гн \), \( E = 25 \, В \).
\[ \tau = -\frac{0.045}{40} \ln\left(1 - \frac{40 \cdot i(\tau)}{25}\right) \]Найдем ток \( i(\tau) \) исходя из установившегося значения времени: \[ i(\tau) = \frac{25}{40} e^{-\frac{40 \tau}{0.045}} \]
Подставим \( i(\tau) \) в уравнение для \( \tau \) и найдем конечное значение времени \( \tau \).
И выразим заряд \( q \) через найденное время \( \tau \).
Округлим значение заряда \( q \) до десятых.
Таким образом, решив указанные уравнения, можно найти искомый заряд, протекший через резистор в данной цепи.
