Для начала обозначим следующие величины:
Пусть ( O ) — центр вписанной окружности радиусом 3, а также точка касания окружности и стороны ( AB ) в точке ( E ).
Поскольку ( O ) — центр окружности, то ( OE ) — радиус, и он равен 3.
Также обозначим ( x ) – длину отрезка ( BC ) и ( h ) – высоту равнобедренной трапеции ( ABCD ) (проведем высоту из вершины ( A ) к основанию ( CD )).
Из свойств касательной и радиуса из ( O ) к точке ( E ) следует, что треугольник ( OBE ) является прямоугольным с гипотенузой ( OE = 3 ), а катеты ( x ) и ( 2 ).
Теперь посмотрим на треугольник ( ABC ). Этот треугольник также прямоугольный, поскольку у равнобедренной трапеции основания ( AD ) и ( BC ) параллельны, а высота ( h ) является проекцией стороны ( AB ) на ( CD ).
Таким образом, мы получаем, что ( \triangle ABC ) также прямоугольный с гипотенузой ( \overline{AB} ) и катетами ( x ) и ( h ).
Из свойства окружности, касающейся трапеции в ( E ), следует, что отрезок ( AE ) является средней линией в треугольнике ( ABC ).
Теперь мы можем составить уравнение для ( x ), используя теорему Пифагора для треугольника ( OBE ):
[ x^2 + 2^2 = 3^2 ]
[ x^2 + 4 = 9 ]
[ x^2 = 5 ]
[ x = \sqrt{5} ]
И теперь, используя соотношение сторон в прямоугольном треугольнике ( ABC ), можем записать:
[ \frac{h}{\sqrt{5}} = \frac{3}{2} ]
[ h = \frac{3\sqrt{5}}{2} ]
Найдем теперь площадь трапеции ( ABCD ). Площадь трапеции можно найти как полусумму оснований, умноженную на высоту:
[ S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} ]
Учитывая, что ( AD = 2BC ) (так как это равнобедренная трапеция), подставим значения и найдем площадь:
[ S = \frac{(2BC + BC) \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}}{2} ]
[ S = \frac{3BC \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}}{2} ]
[ S = \frac{9\sqrt{5}BC}{4} ]
Таким образом, площадь трапеции ( ABCD ) равна ( \frac{9\sqrt{5}BC}{4} ).
