Окружность радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ADCD, касается её боковой стороны AB в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE=2, а BC — меньшее…
Окружность радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ADCD, касается её боковой стороны AB в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE=2, а BC — меньшее основание трапеции.
Для начала обозначим следующие величины:
Пусть \( O \) — центр вписанной окружности радиусом 3, а также точка касания окружности и стороны \( AB \) в точке \( E \).
Поскольку \( O \) — центр окружности, то \( OE \) — радиус, и он равен 3.
Также обозначим \( x \) – длину отрезка \( BC \) и \( h \) – высоту равнобедренной трапеции \( ABCD \) (проведем высоту из вершины \( A \) к основанию \( CD \)).
Из свойств касательной и радиуса из \( O \) к точке \( E \) следует, что треугольник \( OBE \) является прямоугольным с гипотенузой \( OE = 3 \), а катеты \( x \) и \( 2 \).
Теперь посмотрим на треугольник \( ABC \). Этот треугольник также прямоугольный, поскольку у равнобедренной трапеции основания \( AD \) и \( BC \) параллельны, а высота \( h \) является проекцией стороны \( AB \) на \( CD \).
Таким образом, мы получаем, что \( \triangle ABC \) также прямоугольный с гипотенузой \( \overline{AB} \) и катетами \( x \) и \( h \).
Из свойства окружности, касающейся трапеции в \( E \), следует, что отрезок \( AE \) является средней линией в треугольнике \( ABC \).
Теперь мы можем составить уравнение для \( x \), используя теорему Пифагора для треугольника \( OBE \):
\[ x^2 + 2^2 = 3^2 \] \[ x^2 + 4 = 9 \] \[ x^2 = 5 \] \[ x = \sqrt{5} \]
И теперь, используя соотношение сторон в прямоугольном треугольнике \( ABC \), можем записать:
\[ \frac{h}{\sqrt{5}} = \frac{3}{2} \] \[ h = \frac{3\sqrt{5}}{2} \]
Найдем теперь площадь трапеции \( ABCD \). Площадь трапеции можно найти как полусумму оснований, умноженную на высоту:
\[ S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} \]
Учитывая, что \( AD = 2BC \) (так как это равнобедренная трапеция), подставим значения и найдем площадь:
\[ S = \frac{(2BC + BC) \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}}{2} \] \[ S = \frac{3BC \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}}{2} \] \[ S = \frac{9\sqrt{5}BC}{4} \]
Таким образом, площадь трапеции \( ABCD \) равна \( \frac{9\sqrt{5}BC}{4} \).
