Сумма двух противоположных сторон описанного че-тырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него ок-ружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.
В задаче о четырёхугольнике у нас есть две основные информации: сумма двух противоположных сторон равна 12 см (здесь, вероятно, в задаче ошибка в тексте, и должно быть 15 см, как на изображении) и радиус вписанной окружности равен 5 см.
Нужно найти площадь четырёхугольника. Вписанный четырёхугольник подчиняется формуле нахождения площади:
\[ S = r \times p, \]
где \( S \) — площадь, \( r \) — радиус вписанной окружности, \( p \) — полупериметр четырёхугольника.
Полупериметр:
Полупериметр \( p \) четырехугольника равен:
\[ p = \frac{a + b + c + d}{2}, \]
где \( a, b, c, d \) — стороны четырехугольника.
Условие задачи:
- Сумма двух противоположных сторон (пусть будет \( a + c \)) равна 15 см.
- С учетом равенства суммы противоположных сторон, полупериметр \( p \) будет равен:
\[ p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{(a + c) + (b + d)}{2}. \]
Формула площади:
Зная радиус и что полупериметр равен сумме \( a + c = 15 \), \( b + d = 15 \):
\[ p = \frac{15 + 15}{2} = 15. \]
Вычисление площади:
Подставляя значения в формулу площади:
\[ S = r \times p = 5 \times 15 = 75 \ \text{см}^2. \]
Таким образом, площадь четырехугольника равна 75 см².
