РЕШИ

Для того чтобы найти площади фигур, ограниченных графиками функций и осью абсцисс, необходимо интегрировать функцию по заданному промежутку.

1. \( y = 4x - x^2 \)

Фигура ограничена осью Ox. Необходимы точки пересечения с осью абсцисс: \[ 4x - x^2 = 0 \] \[ x(4 - x) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \]

Площадь: \[ \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \]

Решим интеграл: \[ \int (4x - x^2) \, dx = \left( 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \]

Вычислим значения на границах: \[ \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \left(2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3}\right) - 0 \]

\[ = (32 - \frac{64}{3}) = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \]

Таким образом, площадь равна \(\frac{32}{3}\) квадратных единиц.

2. \( y = x - 4 \)

Фигура находится ниже оси Ox. Определим точки пересечения: \[ x - 4 = 0 \] \[ x = 4 \]

Интегрируем от \(0\) до \(4\): \[ \int_{0}^{4} (x - 4) \, dx \]

Решим интеграл: \[ \int (x - 4) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} - 4x \right) \]

Вычислим значения: \[ \left[ \frac{x^2}{2} - 4x \right]_0^4 = \left( \frac{16}{2} - 16 \right) - 0 \] \[ = (8 - 16) \] \[ = -8 \]

Площадь в данном контексте рассматривается в положительных величинах, поэтому: \[ S = 8 \]

3. \( y = 4 - x^2 \)

Определим точки пересечения: \[ 4 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = -2 \quad \text{и} \quad x = 2 \]

Интегрируем: \[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]

Решим интеграл: \[ \int (4 - x^2) \, dx = \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \]

Вычислим значения: \[ \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \] \[ = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) \] \[ = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \] \[ = 16 - \frac{16}{3} \] \[ = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} \] \[ = \frac{32}{3} \]

Таким образом, площадь равна \(\frac{32}{3}\).

4. \( y = x^2 - 2x + 2 \)

Определим точки пересечения: \[ x^2 - 2x + 2 = 0 \]

Под дискриминанту: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \]

Так как дискриминант отрицательный, пересечений нет. Поэтому, поскольку график не пересекает ось Ox, площадь нет.

5. \( y = -x^2 - 6x - 8 \)

Определим точки пересечения: \[ -x^2 - 6x - 8 = 0 \]

\[ x^2 + 6x + 8 = 0 \]

Корни: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2} \]

\[ x_1 = -2 \] \[ x_2 = -4 \]

Интегрируем: \[ \int_{-4}^{-2} (-x^2 - 6x - 8) \, dx \]

Решим интеграл: \[ \int (-x^2 - 6x - 8) \, dx = \left( -\frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x \right) \]

\[ \left[ -\frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x \right]_{-4}^{-2} \]

\[ = \left( -\frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2 - 8(-2) \right) - \left( -\frac{(-4)^3}{3} - 3(-4)^2 - 8(-4) \right) \]

\[ = \left( \frac{8}{3} - 12 + 16 \right) - \left( \frac{64}{3} - 48 + 32 \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{64}{3} - 16 \right) \] \[ = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} - \frac{64}{3} + \frac{48}{3} \] \[ = \frac{8 + 12 - 64 + 48}{3} \] \[ = \frac{4}{3} \]

6. \( y = (x-3)^2 \)

Определяем точки пересечения: \[ (x-3)^2 = 0 \] \[ x-3 = 0 \] \[ x = 3 \]

График не пересекает ось Ox, так как только соприкасается с ней в одной точке. Следовательно, такой площади нет.

Эти пошаговые решения помогут вам понять, как находятся площади фигур, ограниченных функциями.