Для решения данной задачи воспользуемся законом индукции Фарадея, который гласит: ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока через этот контур, равна производной магнитного потока по времени.
Формула закона индукции Фарадея выражается следующим образом:
[ \mathcal{E} = - \frac{d\phi}{dt} ]
Для соленоида магнитный поток через площадь поперечного сечения соленоида можно представить как:
[ \phi = B \cdot A ]
где:
- ( B ) - индукция магнитного поля,
- ( A ) - площадь поперечного сечения соленоида.
Подставим данное выражение в закон индукции Фарадея:
[ \mathcal{E} = - \frac{d(B \cdot A)}{dt} ]
Так как индукция магнитного поля меняется со скоростью, то производная будет равна:
[ \mathcal{E} = - A \cdot \frac{dB}{dt} ]
Также, зная, что конденсатор заряжен до напряжения ( U = \frac{Q}{C} ), где:
- ( U ) - напряжение на конденсаторе,
- ( Q ) - заряд на конденсаторе,
- ( C ) - емкость конденсатора.
Мы также можем записать, что полученное ЭДС индукции равно работе на зарядом конденсаторе:
[ Q = - \mathcal{E} ]
Подставим значение ЭДС индукции и емкости конденсатора:
[ Q = A \cdot \frac{dB}{dt} \cdot C ]
Теперь можем подставить значения в формулу:
[ Q = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 \cdot \left( -20 \times 10^{-3} \right) \cdot 40 \times 10^{-6} ]
[ Q = \pi \times 0.05^2 \times (-20 \times 10^{-3}) \times 40 \times 10^{-6} ]
[ Q = \pi \times 0.0025 \times (-20 \times 10^{-3}) \times 40 \times 10^{-6} ]
[ Q = - \pi \times 10^{-4} \times 40 \times 10^{-6} ]
[ Q = - \pi \times 4 \times 10^{-8} ]
[ Q = - 4\pi \times 10^{-8} ]
Поэтому заряд конденсатора равен ( -4\pi \times 10^{-8} ) Кл или примерно ( -1.2566 \times 10^{-7} ) Кл.
Таким образом, определен заряд на конденсаторе при заданных условиях изменения магнитного поля.
