Пусть V - объем шара радиуса R, a S - площадь его поверхности. Найдите: a) Sи V, если R = 11 см; b) R и S, если V = 113,04 см; c) R и V, если S = 50,24 см.
Решение:
a) Нахождение площади поверхности \(S\) и объема \(V\) шара:
Формулы для площади поверхности и объема шара:
Для шара радиуса \(R\) формула площади поверхности: \[S = 4\pi R^2\]
Формула объема шара: \[V = \frac{4}{3}\pi R^3\]
Подстановка значения радиуса \(R = 11\, \text{см}\):
Для площади поверхности \(S\): \[S = 4\pi \cdot 11^2\] \[S = 4\pi \cdot 121\] \[S = 484\pi \, \text{см}^2\]
Для объема \(V\): \[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 11^3\] \[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 1331\] \[V = \frac{5324\pi}{3} \, \text{см}^3\]
b) Нахождение радиуса \(R\) и площади поверхности \(S\) шара:
Формулы для нахождения радиуса \(R\) и площади поверхности \(S\):
- Из формул объема и площади поверхности шара: \[V = \frac{4}{3}\pi R^3\] \[S = 4\pi R^2\]
Подстановка значения объема \(V = 113,04\, \text{см}^3\):
Из формулы объема: \[113,04 = \frac{4}{3}\pi R^3\] \[R^3 = \frac{3 \cdot 113,04}{4\pi}\] \[R^3 \approx 85,5\] \[R \approx \sqrt[3]{85,5}\] \[R \approx 4,5\, \text{см}\]
Далее, для площади поверхности \(S\): \[S = 4\pi \cdot 4,5^2\] \[S = 4\pi \cdot 20,25\] \[S = 81\pi \, \text{см}^2\]
c) Нахождение радиуса \(R\) и объема \(V\) шара:
Формулы для нахождения радиуса \(R\) и объема \(V\):
- Из формул объема и площади поверхности шара: \[V = \frac{4}{3}\pi R^3\] \[S = 4\pi R^2\]
Подстановка значения площади поверхности \(S = 50,24\, \text{см}^2\):
Из формулы площади поверхности: \[50,24 = 4\pi R^2\] \[R^2 = \frac{50,24}{4\pi}\] \[R^2 \approx 4\] \[R \approx \sqrt{4}\] \[R = 2\, \text{см}\]
Далее, для объема \(V\): \[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3\] \[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8\] \[V = \frac{32\pi}{3} \, \text{см}^3\]
Таким образом, для заданных значений радиуса, площади поверхности и объема шара, мы нашли необходимые значения и выполнены все требуемые расчеты.
