решить теория вероятности

Давайте разберём два варианта задания, представленных на задании по теории вероятностей.

I Вариант

1. В квадрате со стороной 8 см случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

   Решение:

   • Площадь квадрата: \[ S_{\text{квадрата}} = 8 \times 8 = 64 \text{ см}^2 \]
   • Круг вписан в квадрат, значит его диаметр равен стороне квадрата (8 см), а радиус: \[ R = \frac{8}{2} = 4 \text{ см} \]
   • Площадь круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ см}^2 \]
   • Вероятность того, что точка окажется вне круга: \[ P = \frac{S_{\text{квадрата} - S_{\text{круга}}}}{S_{\text{квадрата}}} = \frac{64 - 16\pi}{64} \]

2. Вырезан квадрат со стороной 4 см и обходится точка. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до любой из сторон меньше 1 см?

   Решение:

   • Область, где выполняется условие, это внутренний квадрат со стороной 2 см (4 см - 2 см из-за 1 см с каждой стороны): \[ S_{\text{внутреннего квадрата}} = 2 \times 2 = 4 \text{ см}^2 \]
   • Вероятность: \[ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

3. Внутри квадрата со стороной 10 см вырезан круг радиусом 2 см. Случайным образом выберите точку внутри квадрата. Какова вероятность того, что эта точка не попадет в круг?

   Решение:

   • Площадь квадрата: \[ S_{\text{квадрата}} = 10 \times 10 = 100 \text{ см}^2 \]
   • Площадь круга радиуса 2 см: \[ S_{\text{круга}} = \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ см}^2 \]
   • Вероятность того, что точка не попадет в круг: \[ P = \frac{100 - 4\pi}{100} \]

II Вариант

1. В круге радиусом 6 см случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

   Решение:

   • Диагональ квадрата равна диаметру круга, значит: \[ d = 2 \times 6 = 12 \text{ см} \]
   • Сторона квадрата (через диагональ): \[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]
   • Площадь квадрата: \[ S_{\text{квадрата}} = (6\sqrt{2})^2 = 72 \text{ см}^2 \]
   • Площадь круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi \times 36 \]
   • Вероятность: \[ P = \frac{(\pi \times 36) - 72}{\pi \times 36} \]

2. Внутри квадрата со стороной 10 см находится круг радиуса 4 см. Случайным образом выбирается точка внутри круга. Какова вероятность того, что она попадет в квадрат размером 3 см?

   Решение:

   • Площадь большого квадрата: \[ S_{\text{большого квадрата}} = 3 \times 3 = 9 \text{ см}^2 \]
   • Площадь круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ см}^2 \]
   • Вероятность: \[ P = \frac{9}{16\pi} \]

3. На стороне квадрата с 5 см берется точка. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшего стороны квадрата будет меньше 2 см?

   Решение:

   • Область внутри квадрата, где расстояние меньше 2 см от любой стороны, это уменьшенный внутренний квадрат со стороной 1 см: \[ S_{\text{внутреннего квадрата}} = 1 \times 1 = 1 \text{ см}^2 \]
   • Вероятность: \[ P = \frac{1}{25} \]

Надеюсь, это поможет вам понять и решить задачи по теории вероятностей.