Для решения данной задачи, где нам необходимо найти вероятность наступления ровно 6 успехов в 9 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха (p = 0.5), мы можем воспользоваться формулой Бернулли для расчета вероятности:
[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} ]
Где:
( P(X = k) ) - вероятность того, что в серии из ( n ) испытаний ровно ( k ) раз произойдет событие успеха,
( \binom{n}{k} ) - количество сочетаний из ( n ) по ( k ) или "число сочетаний из ( n ) по ( k )",
( p ) - вероятность события успеха в одном испытании,
( k ) - количество успешных испытаний,
( n ) - общее количество испытаний.
В нашем случае:
( n = 9 ) (количество испытаний),
( k = 6 ) (количество успешных испытаний),
( p = 0.5 ) (вероятность успеха).
Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем вероятность получения 6 успехов из 9 испытаний:
[ P(X = 6) = \binom{9}{6} \times 0.5^6 \times (1-0.5)^{9-6} ]
[ P(X = 6) = \frac{9!}{6!(9-6)!} \times 0.5^6 \times 0.5^3 ]
[ P(X = 6) = \frac{9!}{6!3!} \times 0.5^6 \times 0.5^3 ]
[ P(X = 6) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 0.5^6 \times 0.5^3 ]
[ P(X = 6) = 84 \times 0.015625 \times 0.125 ]
[ P(X = 6) = 84 \times 0.0078125 ]
[ P(X = 6) ≈ 0.65625 ]
Итак, вероятность наступления ровно 6 успехов из 9 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха 0.5 равна приблизительно 0.65625 или около 65.63%.
