найдите вероятность наступления ровно 6 успехов в 9 испытаниях бернулли с вероятностью успеха р 0.5

Для решения данной задачи, где нам необходимо найти вероятность наступления ровно 6 успехов в 9 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0.5\), мы можем воспользоваться формулой Бернулли для расчета вероятности:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]

Где:
\( P(X = k) \) - вероятность того, что в серии из \( n \) испытаний ровно \( k \) раз произойдет событие успеха,
\( \binom{n}{k} \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \) или "число сочетаний из \( n \) по \( k \)",
\( p \) - вероятность события успеха в одном испытании,
\( k \) - количество успешных испытаний,
\( n \) - общее количество испытаний.

В нашем случае:
\( n = 9 \) (количество испытаний),
\( k = 6 \) (количество успешных испытаний),
\( p = 0.5 \) (вероятность успеха).

Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем вероятность получения 6 успехов из 9 испытаний:

\[ P(X = 6) = \binom{9}{6} \times 0.5^6 \times (1-0.5)^{9-6} \]

\[ P(X = 6) = \frac{9!}{6!(9-6)!} \times 0.5^6 \times 0.5^3 \]

\[ P(X = 6) = \frac{9!}{6!3!} \times 0.5^6 \times 0.5^3 \]

\[ P(X = 6) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 0.5^6 \times 0.5^3 \]

\[ P(X = 6) = 84 \times 0.015625 \times 0.125 \]

\[ P(X = 6) = 84 \times 0.0078125 \]

\[ P(X = 6) ≈ 0.65625 \]

Итак, вероятность наступления ровно 6 успехов из 9 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха 0.5 равна приблизительно 0.65625 или около 65.63%.