.

Для решения неравенства \(\frac{5x + x^2}{x - 7} > 0\), мы должны рассмотреть, где дробь положительна. Разложим его на части:

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя

Числитель: \(5x + x^2 = x(x + 5) = 0\).

Отсюда \(x = 0\) и \(x = -5\).

Знаменатель: \(x - 7 = 0\).

Отсюда \(x = 7\).

Шаг 2: Определим, где дробь имеет разрывы

Неравенство имеет разрыв в точке, где знаменатель равен нулю, то есть в \(x = 7\).

Шаг 3: Исследуем интервалы

Рассмотрим интервалы, разбитые значениями \(x = -5\), \(x = 0\), и \(x = 7\):

1. \(x < -5\)
2. \(-5 < x < 0\)
3. \(0 < x < 7\)
4. \(x > 7\)

Шаг 4: Определим знаки на интервалах

1. Интервал \(x < -5\):

   • Числитель: \(- \times - = +\)
   • Знаменатель: отрицателен
   • Дробь: отрицательна

2. Интервал \(-5 < x < 0\):

   • Числитель: \(+ \times - = -\)
   • Знаменатель: отрицателен
   • Дробь: положительна

3. Интервал \(0 < x < 7\):

   • Числитель: \(+ \times + = +\)
   • Знаменатель: отрицателен
   • Дробь: отрицательна

4. Интервал \(x > 7\):

   • Числитель: \(+ \times + = +\)
   • Знаменатель: положителен
   • Дробь: положительна

Шаг 5: Составим ответ

Дробь положительна на интервалах \((-5, 0)\) и \((7, \infty)\).

Таким образом, правильный ответ: \((-5; 0); (7; +\infty)\).