.

Для решения неравенства \(\frac{5x + x^2}{x - 7} > 0\), мы должны рассмотреть, где дробь положительна. Разложим его на части: ### Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя **Числитель:** \(5x + x^2 = x(x + 5) = 0\). Отсюда \(x = 0\) и \(x = -5\). **Знаменатель:** \(x - 7 = 0\). Отсюда \(x = 7\). ### Шаг 2: Определим, где дробь имеет разрывы Неравенство имеет разрыв в точке, где знаменатель равен нулю, то есть в \(x = 7\). ### Шаг 3: Исследуем интервалы Рассмотрим интервалы, разбитые значениями \(x = -5\), \(x = 0\), и \(x = 7\): 1. \(x < -5\) 2. \(-5 < x < 0\) 3. \(0 < x < 7\) 4. \(x > 7\) ### Шаг 4: Определим знаки на интервалах 1. **Интервал \(x < -5\):** - Числитель: \(- \times - = +\) - Знаменатель: отрицателен - Дробь: отрицательна 2. **Интервал \(-5 < x < 0\):** - Числитель: \(+ \times - = -\) - Знаменатель: отрицателен - Дробь: положительна 3. **Интервал \(0 < x < 7\):** - Числитель: \(+ \times + = +\) - Знаменатель: отрицателен - Дробь: отрицательна 4. **Интервал \(x > 7\):** - Числитель: \(+ \times + = +\) - Знаменатель: положителен - Дробь: положительна ### Шаг 5: Составим ответ Дробь положительна на интервалах \((-5, 0)\) и \((7, \infty)\). Таким образом, правильный ответ: \((-5; 0); (7; +\infty)\).