В кубе A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найди градусную меру угла между прямой D 1 C D 1 C и плоскостью ( B 1 B C 1 ) (B 1 BC 1 ) .
Для нахождения угла между прямой \( DC_1 \) и плоскостью \( B_1BC_1 \) в данном кубе нам понадобится некоторое знание геометрии.
- Сначала определим векторное уравнение плоскости \( B_1BC_1 \). Для этого нам нужно найти два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. По свойствам куба, вектор \( \overrightarrow{BB_1} = (0, 1, 0) \) и вектор \( \overrightarrow{BC_1} = (1, 0, 0) \) принадлежат плоскости. Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы найти вектор нормали к плоскости:
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BB_1} \times \overrightarrow{BC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1, 0, 1). \]
Таким образом, вектор нормали к плоскости \( B_1BC_1 \) равен \( \overrightarrow{n} = (-1, 0, 1) \).
Далее, найдем направляющий вектор прямой \( DC_1 \). Так как вектор \( \overrightarrow{DC_1} = (1, 0, 1) \) лежит на прямой, то это и есть направляющий вектор прямой.
Угол между векторами можно найти по формуле скалярного произведения:
\[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{DC_1}}{\lVert\overrightarrow{n}\rVert \cdot \lVert\overrightarrow{DC_1}\rVert}, \]
где \( \theta \) - угол между прямой и плоскостью, \( \overrightarrow{n} \) - вектор нормали к плоскости, \( \overrightarrow{DC_1} \) - направляющий вектор прямой.
Подставляя значения, получим:
\[ \cos\theta = \frac{(-1, 0, 1) \cdot (1, 0, 1)}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{-1 + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}. \]
Таким образом, угол \( \theta \) равен \( \theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \) радиан, что при переводе в градусы составляет \( \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = 120^\circ \).
Итак, градусная мера угла между прямой \( DC_1 \) и плоскостью \( B_1BC_1 \) равна \( 120^\circ \).
