30 спортсменов приняли участие в Олимпиаде. В личном зачете 1 спортсмен получил 40 баллов, второй-60 баллов, третий - среднее арифметическое результатов первого и второго, и далее каждый следующий спортсмен получал среднее арифметическое всех предыдущих участников. Сколько баллов получил последний спортсмен?

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово. Пусть $S_1, S_2, S_3, ..., S_{30}$ — баллы первого, второго, третьего, и так далее, спортсменов. 1. Первый спортсмен получил 40 баллов: $S_1 = 40$. 2. Второй спортсмен получил 60 баллов: $S_2 = 60$. 3. Третий спортсмен получил среднее арифметическое результатов первого и второго: $$S_3 = \frac{S_1 + S_2}{2} = \frac{40 + 60}{2} = \frac{100}{2} = 50.$$ Теперь применим данное правило для следующих спортсменов. Общий шаблон для расчета баллов $S_k$, где $k$ - порядковый номер спортсмена, будет следующим: $$S_k = \frac{S_1 + S_2 + \ldots + S_{k-1}}{k}.$$ Используя этот шаблон, мы можем вычислить баллы для последнего, 30-го, спортсмена: $$S_{30} = \frac{S_1 + S_2 + \ldots + S_{29}}{30}.$$ Теперь подставим известные значения для $S_1, S_2, ..., S_{29}$ и рассчитаем баллы для последнего спортсмена, $S_{30}$: $S_{30} = \frac{40 + 60 + 50 + \ldots + S_{29}}{30}.$ Для удобства последовательно находим значения $S_k$ и суммируем их, чтобы подставить в формулу для $S_{30}$. После всех вычислений мы можем определить, сколько баллов получил последний, 30-й, спортсмен на Олимпиаде.