Реши номер 5

Давайте разберём задачу о решении неравенства из пункта 7. Неравенство: \[ \left| x^2 - 5x \right| \geq 2(x^2 - 5x) \] ### Шаг 1: Определение областей Рассмотрим два случая, так как это модульное неравенство. #### Случай 1: \( x^2 - 5x \geq 0 \) В этом случае модуль раскрывается просто: \[ x^2 - 5x \geq 2(x^2 - 5x) \] Упростим: \[ x^2 - 5x \geq 2x^2 - 10x \] \[ 0 \geq x^2 - 5x \] \[ x^2 - 5x \leq 0 \] Решим квадратное неравенство: 1. \( x(x - 5) \leq 0 \) 2. Найдём нули: \( x = 0 \) и \( x = 5 \). 3. На числовой прямой точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) разбивают прямая на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 5) \), \( (5, \infty) \). Проверяя знаки в интервалах: - На \( (0, 5) \): берём \( x = 1 \), тогда \( 1(1 - 5) < 0 \). - На \( (5, \infty) \): берём \( x = 6 \), тогда \( 6(6 - 5) > 0 \). В решении участвует интервал \( [0, 5] \). #### Случай 2: \( x^2 - 5x < 0 \) В этом случае модуль раскрывается с минусом: \[ -(x^2 - 5x) \geq 2(x^2 - 5x) \] Упростим: \[ -x^2 + 5x \geq 2x^2 - 10x \] \[ 0 \geq 3x^2 - 15x\] \[ 3x^2 - 15x \leq 0 \] Решим квадратное неравенство: 1. \( 3x(x - 5) \leq 0 \) 2. Как и ранее, нули: \( x = 0 \) и \( x = 5 \). 3. Проверяем знаки в интервалах аналогично: Участвует интервал \( [0, 5] \). ### Итоговое решение Объединяем решения с учётом обоих случаев: \[ x \in [0, 5] \] Таким образом, решение неравенства — это \( x \) в интервале от 0 до 5 включительно.