реши номер 5

Давайте разберём задачу о решении неравенства из пункта 7.

Неравенство:

\[ \left| x^2 - 5x \right| \geq 2(x^2 - 5x) \]

Шаг 1: Определение областей

Рассмотрим два случая, так как это модульное неравенство.

Случай 1: \( x^2 - 5x \geq 0 \)

В этом случае модуль раскрывается просто:

\[ x^2 - 5x \geq 2(x^2 - 5x) \]

Упростим:

\[ x^2 - 5x \geq 2x^2 - 10x \]

\[ 0 \geq x^2 - 5x \]

\[ x^2 - 5x \leq 0 \]

Решим квадратное неравенство:

1. \( x(x - 5) \leq 0 \)
2. Найдём нули: \( x = 0 \) и \( x = 5 \).
3. На числовой прямой точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) разбивают прямая на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 5) \), \( (5, \infty) \).

Проверяя знаки в интервалах:

• На \( (0, 5) \): берём \( x = 1 \), тогда \( 1(1 - 5) < 0 \).
• На \( (5, \infty) \): берём \( x = 6 \), тогда \( 6(6 - 5) > 0 \).

В решении участвует интервал \( [0, 5] \).

Случай 2: \( x^2 - 5x < 0 \)

В этом случае модуль раскрывается с минусом:

\[ -(x^2 - 5x) \geq 2(x^2 - 5x) \]

Упростим:

\[ -x^2 + 5x \geq 2x^2 - 10x \]

\[ 0 \geq 3x^2 - 15x\]

\[ 3x^2 - 15x \leq 0 \]

Решим квадратное неравенство:

1. \( 3x(x - 5) \leq 0 \)
2. Как и ранее, нули: \( x = 0 \) и \( x = 5 \).
3. Проверяем знаки в интервалах аналогично:

Участвует интервал \( [0, 5] \).

Итоговое решение

Объединяем решения с учётом обоих случаев: \[ x \in [0, 5] \]

Таким образом, решение неравенства — это \( x \) в интервале от 0 до 5 включительно.