На прямой отмечено 2019 точек, лежащих вне отрезка АВ. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки А не равна сумме расстояний от этих точек до точки В

Решение:

Дано: на прямой отмечено 2019 точек, лежащих вне отрезка \(AB\).

Чтобы доказать, что сумма расстояний от этих точек до точки \(A\) не равна сумме расстояний от этих точек до точки \(B\), рассмотрим две крайние точки \(A\) и \(B\). Пусть \(C\) - это точка между \(A\) и \(B\), лежащая на отрезке \(AB\).

Предположим, что сумма расстояний от 2019 точек до \(A\) равна сумме расстояний от этих точек до \(B\). Докажем, что это невозможно.

Так как точки лежат вне отрезка \(AB\), то для каждой точки \(P\) на отрезке \(AC\) найдется соответствующая точка \(Q\) на отрезке \(BC\) такая, что \(\overline{AP} = \overline{BQ}\) (расстояния от \(P\) и \(Q\) до \(A\) равны). И наоборот, для каждой точки \(P'\) на отрезке \(AB\) найдется соответствующая точка \(Q'\) вне отрезка \(AB\) такая, что \(\overline{AP'} = \overline{BQ'}\) (расстояния от \(P'\) и \(Q'\) до \(B\) равны).

Таким образом, если сумма расстояний от 2019 точек до \(A\) равна сумме расстояний от этих точек до \(B\), то мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между точками на отрезке \(AC\) и точками снаружи отрезка \(AC\) так, что каждой точке \(P\) на \(AC\) будет соответствовать точка \(Q\) на \(BC\), и каждой точке \(P'\) на \(AB\) будет соответствовать точка \(Q'\) снаружи отрезка \(AB\). Это возможно только если точки \(C\) и \(2019\) лежат на одной прямой. Но так как точек 2019 и они лежат вне отрезка \(AB\), это противоречие ведет к тому, что сумма расстояний от точек до \(A\) не равна сумме расстояний от этих точек до \(B\).

Таким образом, доказано, что сумма расстояний от 2019 точек до точки \(A\) не равна сумме расстояний от этих точек до точки \(B\).