Решение:
Дано: на прямой отмечено 2019 точек, лежащих вне отрезка $AB$.
Чтобы доказать, что сумма расстояний от этих точек до точки $A$ не равна сумме расстояний от этих точек до точки $B$, рассмотрим две крайние точки $A$ и $B$. Пусть $C$ - это точка между $A$ и $B$, лежащая на отрезке $AB$.
Предположим, что сумма расстояний от 2019 точек до $A$ равна сумме расстояний от этих точек до $B$. Докажем, что это невозможно.
Так как точки лежат вне отрезка $AB$, то для каждой точки $P$ на отрезке $AC$ найдется соответствующая точка $Q$ на отрезке $BC$ такая, что $\overline{AP} = \overline{BQ}$ (расстояния от $P$ и $Q$ до $A$ равны). И наоборот, для каждой точки $P'$ на отрезке $AB$ найдется соответствующая точка $Q'$ вне отрезка $AB$ такая, что $\overline{AP'} = \overline{BQ'}$ (расстояния от $P'$ и $Q'$ до $B$ равны).
Таким образом, если сумма расстояний от 2019 точек до $A$ равна сумме расстояний от этих точек до $B$, то мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между точками на отрезке $AC$ и точками снаружи отрезка $AC$ так, что каждой точке $P$ на $AC$ будет соответствовать точка $Q$ на $BC$, и каждой точке $P'$ на $AB$ будет соответствовать точка $Q'$ снаружи отрезка $AB$. Это возможно только если точки $C$ и $2019$ лежат на одной прямой. Но так как точек 2019 и они лежат вне отрезка $AB$, это противоречие ведет к тому, что сумма расстояний от точек до $A$ не равна сумме расстояний от этих точек до $B$.
Таким образом, доказано, что сумма расстояний от 2019 точек до точки $A$ не равна сумме расстояний от этих точек до точки $B$.
