Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что ВК = DM.

**Решение:** Дано: Параллелограмм $ABCD$, прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. 1. Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ как точку $O$. Так как диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, то $OK = KO$ и $OM = MO$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle BOK$ и $\triangle DOM$: - В треугольнике $\triangle BOK$: - Найдем, что $\angle BOK = 180^\circ - \angle KOB - \angle OKB = 180^\circ - \angle ADB - \angle ADC$ (так как у параллелограмма смежные углы дополнительные). - В треугольнике $\triangle DOM$: - Аналогично, $\angle DOM = 180^\circ - \angle ODA - \angle OAD = 180^\circ - \angle CDB - \angle DCB$. 3. Из пункта 2 следует, что углы $\angle BOK$ и $\angle DOM$ смежные и равны. Значит, у треугольников $\triangle BOK$ и $\triangle DOM$ соответственные стороны пропорциональны, и $BK = DM$. Таким образом, доказано, что $BK = DM$ через точку пересечения диагоналей параллелограмма.