знайти екстремуми функції f(x)=1+3^2+x^3

Цель: Понять

Решение:

Для того чтобы найти экстремумы функции \( f(x) = 1 + 3x^2 + x^3 \), необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Экстремумы функции могут быть минимумы или максимумы.

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \( f'(x) = 0 + 6x + 3x^2 \).

2. Теперь приравняем \( f'(x) \) к нулю и найдем точки экстремумов: \( f'(x) = 6x + 3x^2 = 0 \).

3. Факторизуем уравнение: \( 3x(x + 2) = 0 \).

Таким образом, получаем две возможные точки экстремумов:

1. \( x = 0 \).

2. \( x = -2 \).

3. Чтобы узнать, является ли каждая из этих точек экстремумом (минимумом или максимумом), нужно провести исследование на вторую производную \( f''(x) \):

   \( f''(x) = 6 + 6x \).

4. Теперь подставим \( x = 0 \) и \( x = -2 \) во вторую производную \( f''(x) \) и определим характер экстремума:

   При \( x = 0 \): \( f''(0) = 6 > 0 \) (положительная), значит, это точка локального минимума.

   При \( x = -2 \): \( f''(-2) = -6 < 0 \) (отрицательная), значит, это точка локального максимума.

Итак, точка \( x = 0 \) является локальным минимумом, а точка \( x = -2 \) является локальным максимумом функции \( f(x) = 1 + 3x^2 + x^3 \).