Для решения данной задачи рассмотрим все возможные варианты и найдем вероятность каждого события:
Пусть событие $W$ означает, что гроссмейстер А выигрывает партию, а событие $L$ означает, что гроссмейстер А проигрывает партию.
Дано:
- Вероятность того, что А выиграет у Б, если играет белыми: $P(W|B) = 0,7$
- Вероятность того, что А выиграет у Б, если играет черными: $P(W|B) = 0,5$
При первой игре:
- Вероятность того, что А выиграет, если играет белыми: $P(W_1) = P(W|B) = 0,7$
- Вероятность того, что А выиграет, если играет черными: $P(W_1) = P(W|C) = 0,5$
При второй игре:
- Вероятность того, что А выиграет, если играет белыми во второй игре: $P(W_2|B) = P(W|B) = 0,7$
- Вероятность того, что А выиграет, если играет черными во второй игре: $P(W_2|C) = P(W|C) = 0,5$
а) Найдем вероятность того, что А выиграет оба раза:
Это произойдет только в случае, если он выигрывает обе партии.
$$P(\text{А выиграет оба раза}) = P(W_1) \times P(W_2) = 0,7 \times 0,7 = 0,49$$
б) Найдем вероятность того, что А выиграет только одну партию:
Это может произойти в двух случаях: когда он выиграет первую партию и проигрывает вторую, или наоборот.
$$P(\text{А выиграет только одну партию}) = P(W_1) \times P(L_2) + P(L_1) \times P(W_2)$$
$$P(W_1) \times P(L_2) = 0,7 \times 0,5 = 0,35$$
$$P(L_1) \times P(W_2) = 0,3 \times 0,7 = 0,21$$
Суммируем оба случая:
$$P(\text{А выиграет только одну партию}) = 0,35 + 0,21 = 0,56$$
в) Найдем вероятность того, что А выиграет хотя бы одну из партий:
Для этого найдем вероятность события, что А проиграет обе партии, и вычтем это из 1.
$$P(\text{А выиграет хотя бы одну из партий}) = 1 - P(\text{А проиграет обе партии})$$
$$ P(\text{А проиграет обе партии}) = P(L_1) \times P(L_2) = 0,3 \times 0,5 = 0,15$$
С учетом этого:
$$P(\text{А выиграет хотя бы одну из партий}) = 1 - 0,15 = 0,85$$
Итак, мы нашли вероятности того, что гроссмейстер А выиграет обе партии, только одну партию и хотя бы одну из партий.
