9. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он вышрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,7. Если А играет черпыми, то он вынгрывает у Б с вероятностью 0,5. Гросемейстеры А и Б…
9. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он вышрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,7. Если А играет черпыми, то он вынгрывает у Б с вероятностью 0,5. Гросемейстеры А и Б играют две партин, причем во второй партин меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что а) А вынграет оба раза, б) А вынграет только одну партию, b) А вынграет хотя бы одну из партий.
Для решения данной задачи рассмотрим все возможные варианты и найдем вероятность каждого события:
Пусть событие \(W\) означает, что гроссмейстер А выигрывает партию, а событие \(L\) означает, что гроссмейстер А проигрывает партию.
Дано:
- Вероятность того, что А выиграет у Б, если играет белыми: \(P(W|B) = 0,7\)
- Вероятность того, что А выиграет у Б, если играет черными: \(P(W|B) = 0,5\)
При первой игре:
- Вероятность того, что А выиграет, если играет белыми: \(P(W_1) = P(W|B) = 0,7\)
- Вероятность того, что А выиграет, если играет черными: \(P(W_1) = P(W|C) = 0,5\)
При второй игре:
- Вероятность того, что А выиграет, если играет белыми во второй игре: \(P(W_2|B) = P(W|B) = 0,7\)
- Вероятность того, что А выиграет, если играет черными во второй игре: \(P(W_2|C) = P(W|C) = 0,5\)
а) Найдем вероятность того, что А выиграет оба раза:
Это произойдет только в случае, если он выигрывает обе партии.
\[P(\text{А выиграет оба раза}) = P(W_1) \times P(W_2) = 0,7 \times 0,7 = 0,49\]б) Найдем вероятность того, что А выиграет только одну партию:
Это может произойти в двух случаях: когда он выиграет первую партию и проигрывает вторую, или наоборот.
\[P(\text{А выиграет только одну партию}) = P(W_1) \times P(L_2) + P(L_1) \times P(W_2)\] \[P(W_1) \times P(L_2) = 0,7 \times 0,5 = 0,35\] \[P(L_1) \times P(W_2) = 0,3 \times 0,7 = 0,21\]Суммируем оба случая:
\[P(\text{А выиграет только одну партию}) = 0,35 + 0,21 = 0,56\]в) Найдем вероятность того, что А выиграет хотя бы одну из партий:
Для этого найдем вероятность события, что А проиграет обе партии, и вычтем это из 1.
\[P(\text{А выиграет хотя бы одну из партий}) = 1 - P(\text{А проиграет обе партии})\] \[ P(\text{А проиграет обе партии}) = P(L_1) \times P(L_2) = 0,3 \times 0,5 = 0,15\]С учетом этого:
\[P(\text{А выиграет хотя бы одну из партий}) = 1 - 0,15 = 0,85\]Итак, мы нашли вероятности того, что гроссмейстер А выиграет обе партии, только одну партию и хотя бы одну из партий.
