Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х= - 1, параболой y= -2x+ x2 +3 и касательной к ней в точке с абсциссой 2.

Для нахождения площади фигуры ограниченной указанными функциями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точку касания и уравнение касательной:

   • Найдем производную функции \( y = -2x + x^2 + 3 \) по \( x \): \[ y' = -2 + 2x \]
   • Чтобы найти точку касания, приравняем \( y' \) к нулю и решим уравнение: \[ -2 + 2x = 0 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \]
   • Точка касания: \( (1, 2) \).
   • Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке \( (1, 2) \): \[ m = y'(1) = -2 + 2 \cdot 1 = 0 \]
   • Уравнение касательной имеет вид \( y = mx + c \), где \( m \) - угловой коэффициент, \( c \) - значение функции в точке касания: \[ y = 0 \cdot x + 2 \] \[ y = 2 \]
   • Уравнение касательной: \( y = 2 \).

2. Найти точки пересечения функций:

   • Для нахождения точек пересечения параболы и прямой \( x = -1 \), подставим \( x = -1 \) в уравнение параболы: \[ y = -2(-1) + (-1)^2 + 3 = 2 \] Точка пересечения: \( (-1, 2) \).

3. Найти площадь фигуры:

   • Площадь фигуры между касательной, параболой и прямой - это площадь между касательной и абсциссой (от \( x = -1 \) до \( x = 2 \)), минус площадь между параболой и абсциссой (от \( x = -1 \) до \( x = 1 \)).
   • Сначала найдем площадь под касательной: это просто прямоугольник с высотой 2 и шириной 3 (от \( x = 1 \) до \( x = 2 \)): \[ S_1 = 2 \cdot 3 = 6 \]
   • Теперь найдем площадь под параболой: это интеграл функции от \( x = -1 \) до \( x = 1 \): \[ S_2 = \int_{-1}^{1} (-2x + x^2 + 3) dx \] \[ S_2 = \left[ -x^2 + \frac{x^3}{3} + 3x \right]_{-1}^{1} \] \[ S_2 = \left[ -1 + \frac{1}{3} + 3 \right] - \left[ -1 - \frac{1}{3} - 3 \right] \] \[ S_2 = 3 + \frac{4}{3} - (-3 - \frac{4}{3}) \] \[ S_2 = 6 + \frac{4}{3} + 3 + \frac{4}{3} \] \[ S_2 = 12 + \frac{8}{3} \] \[ S_2 = \frac{36}{3} + \frac{8}{3} = \frac{44}{3} \]

4. Подсчет общей площади:

   • Общая площадь фигуры: \[ S = S_1 - S_2 = 6 - \frac{44}{3} = \frac{18 - 44}{3} = - \frac{26}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямой \( x = -1 \), параболой \( y = -2x + x^2 + 3 \) и касательной к ней в точке с абсциссой 2, равна \( - \frac{26}{3} \).