Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 95 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 15 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 95 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 15 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 85 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны c = 4200 Дж/(кг⋅°С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Ответ округлить до целого числа. Напишите полное решение этой задачи
Решение:
- Пусть \(m_ч\) - масса чая, \(m_в\) - масса воды, полученной от Маши, \(Q_ч\) - количество теплоты, отданной чаем, \(Q_в\) - количество теплоты, полученное водой, и \(T\) - итоговая температура чая после добавления воды.
Сначала найдем количество теплоты, отданное чаем:
\(Q_ч = m_ч \cdot c \cdot (T_ч - T)\)
где \(T_ч = 95\) °C - начальная температура чая.
Затем найдем количество теплоты, полученное водой:
\(Q_в = m_в \cdot c \cdot (T - 15)\)
Поскольку теплота, отданная чаем, равна теплоте, полученной водой, можно записать уравнение:
\(m_ч \cdot c \cdot (T_ч - T) = m_в \cdot c \cdot (T - 15)\)
- Для порядка находим отношение массы чая к массе воды:
\(m_ч : m_в = (T - 15) : (95 - T)\)
- После добавления второй порции воды, общее количество теплоты в системе останется тем же:
\(2m_в \cdot c \cdot (T_2 - 15) = m_ч \cdot c \cdot (95 - T_2)\)
где \(T_2\) - итоговая температура чая после добавления второй порции воды.
Решим систему уравнений:
a) Из уравнения 1:
\(m_ч \cdot c \cdot (95 - T) = m_в \cdot c \cdot (T - 15)\)
$b) Из уравнения 3:
\(2m_в \cdot c \cdot (T_2 - 15) = m_ч \cdot c \cdot (95 - T_2)\)
Подставляем выражение для \(m_ч\) из уравнения a) в уравнение b):
\(2m_в \cdot c \cdot (T_2 - 15) = \left(\frac{m_в \cdot c \cdot (T - 15)}{c}\right) \cdot (95 - T_2)\)
\(2(T_2 - 15) = (T - 15) \cdot (95 - T_2)\)
\(2T_2 - 30 = 95T - T^2 - 1425 + 15T_2\)
Упростим:
\(T^2 - 13T_2 + 1425 = 0\)
Далее решаем квадратное уравнение:
\(T_2 = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1425}}{2} \approx \frac{13 \pm \sqrt{169 - 5700}}{2} \approx \frac{13 \pm \sqrt{-5531}}{2}\)
Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет вещественных корней, что означает, что температура чая не установится.
