Найдите объём и площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45°.

Для решения задачи о нахождении объема и площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, давайте представим, что данная пирамида является сложением четырех равносторонних треугольных пирамид. Важно отметить, что правильная четырехугольная пирамида имеет основание, которое является квадратом. Таким образом, каждая из четырех равносторонних треугольных пирамид будет содержать угол 45 градусов между высотой пирамиды и боковым ребром. Дано: - Боковое ребро (сторона квадрата на основании пирамиды) = 20 см - Угол между высотой и боковым ребром = 45° ### Решение: 1. **Нахождение высоты пирамиды:** Так как угол между высотой и боковым ребром составляет 45 градусов, можно использовать тригонометрию, чтобы найти высоту пирамиды. Рассмотрим один из равносторонних треугольных пирамид в плоскости основания.  В данном случае, угол между высотой (h) и боковым ребром (20 см) равен 45°. Поскольку углы в треугольнике в сумме дают 180°, имеем: \[\tan(45°) = \dfrac{h}{20}\] \[h = 20 \times \tan(45°)\] \[h = 20 \times 1\] \[h = 20 \text{ см}\] 2. **Нахождение площади полной поверхности пирамиды:** - Площадь основания (квадрата) = \(s^2\), где \(s\) - длина стороны квадрата - Площадь каждой из четырех треугольных поверхностей = \(\dfrac{1}{2} \times s \times h\) Площадь полной поверхности пирамиды = Площадь основания + 4 * площадь каждой треугольной поверхности. \[S_{\text{основания}} = (20 \text{ см})^2 = 400 \text{ см}^2\] \[S_{\text{треугольной}} = \dfrac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \text{ см}^2\] \[S_{\text{поверхности}} = 400 + 4 \times 200\] \[S_{\text{поверхности}} = 400 + 800\] \[S_{\text{поверхности}} = 1200 \text{ см}^2\] 3. **Нахождение объема пирамиды:** Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды используем формулу: \[V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\] \[V = \dfrac{1}{3} \times 400 \times 20 = \dfrac{8000}{3} = 2666.\overline{6} \text{ см}^3\] ### Ответ: 1. Высота пирамиды равна 20 см. 2. Площадь полной поверхности пирамиды составляет 1200 квадратных сантиметров. 3. Объем пирамиды равен приблизительно 2666.\overline{6} кубическим сантиметрам.