(x-4)^2<√17(x-4)

Для начала решим данное неравенство: \[(x-4)^2 < \sqrt{17}(x-4)\] 1. Разложим квадрат на левой стороне уравнения: \[(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16\] 2. Теперь выразим корень из 17 как произведение \(\sqrt{17} = \sqrt{17} \cdot 1\). 3. Подставим полученные значения обратно в исходное неравенство: \[x^2 - 8x + 16 < \sqrt{17} \cdot 1 \cdot (x-4)\] \[x^2 - 8x + 16 < \sqrt{17}x - 4\sqrt{17}\] 4. Перенесем все члены неравенства на одну сторону, чтобы получить: \[x^2 - 8x + 16 - \sqrt{17}x + 4\sqrt{17} < 0\] 5. Далее объединим подобные члены и проведем преобразования: \[x^2 - (8 + \sqrt{17})x + 16 + 4\sqrt{17} < 0\] 6. Исследуем знак выражения \(\Delta = (8 + \sqrt{17})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 + 4\sqrt{17})\): \[\Delta = 64 + 16\sqrt{17} + 17 - 64 - 16\sqrt{17}\] \[\Delta = 17 > 0\] 7. Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня. Перейдем к решению неравенства: 8. Найдем корни уравнения \(x^2 - (8 + \sqrt{17})x + 16 + 4\sqrt{17} = 0\): \[x = \frac{8 + \sqrt{17} \pm \sqrt{\Delta}}{2}\] \[x = \frac{8 + \sqrt{17} \pm \sqrt{17}}{2}\] \[x_1 = 4 + 2\sqrt{17}, \quad x_2 = 4 - 2\sqrt{17}\] 9. Проверим подходит ли корень \(x_1 = 4 + 2\sqrt{17}\) в исходное неравенство: \[(4 + 2\sqrt{17} - 4)^2 < \sqrt{17}(4 + 2\sqrt{17} - 4)\] \[4\sqrt{17} < 0\] 10. Так как это неравенство неверное, то корень \(x_1 = 4 + 2\sqrt{17}\) не подходит. 11. Проверим корень \(x_2 = 4 - 2\sqrt{17}\): \[(4 - 2\sqrt{17} - 4)^2 < \sqrt{17}(4 - 2\sqrt{17} - 4)\] \[16\sqrt{17} < 0\] 12. Получили истинное утверждение, значит корень \(x_2 = 4 - 2\sqrt{17}\) подходит. Таким образом, решением данного неравенства \((x-4)^2 < \sqrt{17}(x-4)\) является \(x \in (4 - 2\sqrt{17}, 4 + 2\sqrt{17})\).