(x-4)^2<√17(x-4)

Для начала решим данное неравенство:

\[(x-4)^2 < \sqrt{17}(x-4)\]

1. Разложим квадрат на левой стороне уравнения:

\[(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16\]

2. Теперь выразим корень из 17 как произведение \(\sqrt{17} = \sqrt{17} \cdot 1\).

3. Подставим полученные значения обратно в исходное неравенство:

\[x^2 - 8x + 16 < \sqrt{17} \cdot 1 \cdot (x-4)\]

\[x^2 - 8x + 16 < \sqrt{17}x - 4\sqrt{17}\]

4. Перенесем все члены неравенства на одну сторону, чтобы получить:

\[x^2 - 8x + 16 - \sqrt{17}x + 4\sqrt{17} < 0\]

5. Далее объединим подобные члены и проведем преобразования:

\[x^2 - (8 + \sqrt{17})x + 16 + 4\sqrt{17} < 0\]

6. Исследуем знак выражения \(\Delta = (8 + \sqrt{17})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (16 + 4\sqrt{17})\):

\[\Delta = 64 + 16\sqrt{17} + 17 - 64 - 16\sqrt{17}\] \[\Delta = 17 > 0\]

7. Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня. Перейдем к решению неравенства:

8. Найдем корни уравнения \(x^2 - (8 + \sqrt{17})x + 16 + 4\sqrt{17} = 0\):

\[x = \frac{8 + \sqrt{17} \pm \sqrt{\Delta}}{2}\] \[x = \frac{8 + \sqrt{17} \pm \sqrt{17}}{2}\] \[x_1 = 4 + 2\sqrt{17}, \quad x_2 = 4 - 2\sqrt{17}\]

9. Проверим подходит ли корень \(x_1 = 4 + 2\sqrt{17}\) в исходное неравенство:

\[(4 + 2\sqrt{17} - 4)^2 < \sqrt{17}(4 + 2\sqrt{17} - 4)\] \[4\sqrt{17} < 0\]

10. Так как это неравенство неверное, то корень \(x_1 = 4 + 2\sqrt{17}\) не подходит.

11. Проверим корень \(x_2 = 4 - 2\sqrt{17}\):

\[(4 - 2\sqrt{17} - 4)^2 < \sqrt{17}(4 - 2\sqrt{17} - 4)\] \[16\sqrt{17} < 0\]

12. Получили истинное утверждение, значит корень \(x_2 = 4 - 2\sqrt{17}\) подходит.

Таким образом, решением данного неравенства \((x-4)^2 < \sqrt{17}(x-4)\) является \(x \in (4 - 2\sqrt{17}, 4 + 2\sqrt{17})\).