Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. а)  Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки? б)  Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки? в)  Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

**Цель:** Понять **Решение:** а) Предположим, что среди 8 различных натуральных чисел не найдется ни одной хорошей тройки (три числа, которые могут быть длинами сторон треугольника). Для того чтобы числа могли образовать стороны треугольника, выполнение неравенства треугольника необходимо: cada + b > c, c + b > a, a + c > b. Если нельзя выбрать три числа, удовлетворяющих этим условиям, то некоторые из чисел могут быть больше суммы двух других. Однако, это противоречит исходному условию, что числа различные. Следовательно, среди 8 различных натуральных чисел обязательно найдется хотя бы одна хорошая тройка. Таким образом, среди данных чисел найдется хотя бы одна хорошая тройка. б) Теперь рассмотрим 4 различных натуральных числа. Мы хотим определить, можно ли найди три отличные тройки (три числа, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника). Для того чтобы числа могли быть сторонами прямоугольного треугольника, они должны удовлетворять теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза, а и b - катеты. Рассмотрим возможные комбинации 4 различных чисел: 1) Если взять числа 3, 4, 5, то они образуют прямоугольный треугольник (3^2 + 4^2 = 5^2). 2) Если взять числа 5, 12, 13, то они также образуют прямоугольный треугольник (5^2 + 12^2 = 13^2). 3) Осталось только одно число, которое не входит в прямоугольную тройку, и таким числом может быть 8 или любое другое неудовлетворяющее условиям числа. Таким образом, можно подобрать 4 различных натуральных числа с тремя отличными тройками. в) Наконец, рассмотрим 12 различных чисел (необязательно натуральных). Нам нужно найти наибольшее количество отличных троек среди них (три числа, образующих прямоугольный треугольник). Мы можем применить подход аналогичный для 4 чисел: максимальное количество отличных троек будет равно количеству троек чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольных треугольников. Например, среди чисел 6, 8, 10, 15, 17, 20, 21, 24, 25, 29, 30, 36, мы можем найти несколько прямоугольных троек: 1) 6, 8, 10 2) 15, 20, 25 3) 21, 28, 35 4) 36, 30, 25 и т.д. Таким образом, наибольшее количество отличных троек среди 12 различных чисел - это количество комбинаций трех чисел, которые образуют прямоугольный треугольник.