Точки А и В расположены в узлах сетки (см. рис.) и являются соседними вершинами квадрата АВСD. Найдите площадь квадрата ABСD.

Для решения этой задачи нам необходимо использовать геометрические свойства квадратов. 1. Дано, что точки A и B являются соседними вершинами квадрата ABCD, а также точка B находится на сетке от точки A. 2. Посмотрим на графическое представление задачи. Поляна без цифр, чтобы затем ввести графику 3. Обозначим длину стороны квадрата ABCD как "a". 4. По свойствам квадрата, диагональ квадрата равна \(\sqrt{2}\) раза стороне: \(d = a\sqrt{2}\). 5. Так как точка B находится на сетке и является соседней для точки A, то можно заметить, что расстояние между A и B равно длине стороны квадрата. Значит, \(AB = a\). 6. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD с катетами AB и DB и гипотенузой AD (равной диагонали квадрата) имеем: \((a)^2 + (a)^2 = (a\sqrt{2})^2\). 7. Решив уравнение, получим: \(2a^2 = 2a^2\), что верно. 8. Таким образом, мы доказали, что квадрат ABCD обладает всеми свойствами квадрата со стороной длины "a". 9. Следовательно, площадь квадрата ABCD равна \(a^2\). Итак, площадь квадрата ABCD равна квадрату длины его стороны, то есть \(a^2\).