Время ожидания автобуса на остановке распределено равномерно от 0 до 30 минут. Каково математическое ожидание времени ожидания автобуса?

Решение:

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины задается формулой: \[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \,dx \] где \( f(x) \) - функция плотности вероятности случайной величины.

Для данной задачи, время ожидания автобуса равномерно распределено от 0 до 30 минут. Следовательно, функция плотности вероятности равна: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{30}, & \text{если } 0 \leq x \leq 30 \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} \]

Теперь вычислим математическое ожидание: \[ E[X] = \int_{0}^{30} x \cdot \frac{1}{30} \,dx \] \[ E[X] = \frac{1}{30} \int_{0}^{30} x \,dx \] \[ E[X] = \frac{1}{30} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{30} \] \[ E[X] = \frac{1}{30} \left( \frac{30^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ E[X] = \frac{1}{30} \cdot \frac{900}{2} \] \[ E[X] = \frac{1}{30} \cdot 450 \] \[ E[X] = \frac{450}{30} \] \[ E[X] = 15 \]

Таким образом, математическое ожидание времени ожидания автобуса на остановке составляет 15 минут.