Прямая CD касается окружности с центром О в точке А, отрезок АВ – хорда окружности, ⦟BАD = 60°. Найдите ⦟AOВ. Предоставьте чертёж и полное письменное решение.

**Задача:** Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB – хорда окружности, ∠BAD = 60°. Найдите ∠AOB. **Решение:** 1. Построим чертёж для наглядности:  2. Введём обозначения: - ∠AOB = α (искомый угол). - ∠BAC = ∠BCA = β (углы, образованные хордой). - Половина ∠BCA = 30° (так как дано, что ∠BAD = 60°). 3. Докажем, что ∠BAC = β = ∠BCA: - Так как CD - касательная к окружности, угол между касательной и хордой равен половине угла, стягиваемого этой хордой на окружности. Таким образом, ∠BAC = 2 * ∠BCA. - Из условия ∠BAD = 60°, ∠BAC = 120°. - Значит, ∠BAC = β = ∠BCA = 60°. 4. Рассмотрим треугольник BOC, в котором: - ∠BCA = 60° (из пункта 3). - ∠OBC = ∠OCB = α (так как это углы, образованные касательной и хордой). 5. Теперь можем найти α: - В треугольнике BOC: α + α + 60 = 180 (сумма углов треугольника). - 2α = 120. - α = 60. 6. Получили, что ∠AOB = α = 60°. Таким образом, получаем, что ∠AOB = 60°.