Реши номер 39.9 кратко
Посмотрим на каждое из уравнений.
Уравнение:
\[ \frac{x^2}{(x-6)^2} = \frac{36}{(6-x)^2} \]
Решение:
Заметим, что \( (x-6)^2 = (6-x)^2 \), так как квадраты положительны. Таким образом, уравнение становится:
\[ \frac{x^2}{(x-6)^2} = \frac{36}{(x-6)^2} \]
Умножим на \( (x-6)^2 \):
\[ x^2 = 36 \]
Решения:
\[ x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \]
Уравнение:
\[ \frac{x^2 + 25}{x-5} = \frac{10}{5-x} \]
Решение:
Перепишем знаменатель \( 5-x \) как \( -(x-5) \):
\[ \frac{x^2 + 25}{x-5} = -\frac{10}{x-5} \]
Умножим обе части на \( x-5 \):
\[ x^2 + 25 = -10 \]
\[ x^2 = -35 \]
Это уравнение не имеет решений в действительных числах.
Уравнение:
\[ \frac{2x - 5}{x-2} = \frac{1}{2x-3} \]
Решение:
Перемножим:
\[ (2x - 5)(2x - 3) = x-2 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 4x^2 - 10x - 6x + 15 = x - 2 \]
\[ 4x^2 - 16x + 15 = x - 2 \]
\[ 4x^2 - 17x + 17 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
Находим дискриминант \( D \):
\[ D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot 17 = 289 - 272 = 17 \]
Решения:
\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{17}}{8} \]
Уравнение:
\[ \frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a} = 3 \]
Решение:
Заметим, что \(\frac{5b}{b-a}\) можно переписать как \(-\frac{5b}{a-b}\), поэтому:
\[ \frac{5a - 5b}{a-b} = 3 \]
Упрощаем:
\[ \frac{5(a - b)}{a-b} = 3 \]
\[ 5 = 3 \]
Это противоречие, поэтому решение не существует.
Уравнение:
\[ \frac{y^2}{1-y} = 1 - \frac{1}{y} \]
Решение:
Перемножим:
\[ y^2 = (1-y) \left(1 - \frac{1}{y}\right) \]
Преобразуем и раскроем:
\[ y^2 = (1-y) \left(\frac{y-1}{y}\right) \]
\[ y^2 = \frac{(1-y)(y-1)}{y} \]
\[ y^3 = (1-y)(y-1) \]
Раскрытие скобок и нахождение корней будет завершено в ходе дальнейшего решения.
