решить

Для решения задачи используем свойство трапеции и формулу для нахождения её площади через площадь треугольников.

Дано:

• \( AD \parallel BC \) — боковые стороны трапеции параллельны.
• Диагонали трапеции пересекаются в точке \( O \).
• Площади треугольников: \( S_{BOC} = 4 \, \text{см}^2 \) и \( S_{COD} = 8 \, \text{см}^2 \).

Необходимо найти площадь трапеции \( S_{ABCD} \).

Решение:

Воспользуемся тем, что диагонали трапеции делят её на четыре треугольника и два из них — \( \triangle BOC \) и \( \triangle COD \) — нам уже известны.

Свойства площадей в трапеции:

Площадь треугольников, образованных диагоналями трапеции, пропорциональна основаниям.

Пусть основание \( AD = x \) и \( BC = y \). Таким образом, площади треугольников:

• \( S_{BOC} \) относится к \( BC \)
• \( S_{COD} \) относится к \( AD \)

Поскольку треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle COD \) имеют общую высоту, отношение их площадей равно отношению оснований:

\[ \frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BC}{AD} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{4}{8} = \frac{BC}{AD} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{AD} \]

Следовательно, \( BC = \frac{1}{2} AD \).

Теперь выразим площади треугольников \( \triangle AOD \) и \( \triangle AOB \). Они также пропорциональны \( AD \) и \( BC \), и их суммы аналогично равны:

• \( S_{AOD} = x \cdot \text{коэффициент пропорциональности} \)
• \( S_{AOB} = y \cdot \text{коэффициент пропорциональности} \)

Общая площадь трапеции:

\[ S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} \]

Учитывая, что \( S_{BOC} + S_{COD} = 12 \), площадь большой трапеции \( S_{ABCD} \) будет также в два раза больше суммы имеющихся треугольников из-за отношения \( \frac{1}{2} \), так как пропорции учитываются по диагонали.

Таким образом:

\[ S_{ABCD} = 2 \times (S_{BOC} + S_{COD}) = 2 \times 12 = 24 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

Площадь трапеции \( ABCD = 24 \, \text{см}^2 \).