y’*(x/(1-x^2))*y=(1/(1-x^2))

Для решения данного уравнения, которое является дифференциальным уравнением первого порядка, используем метод интегрирующего множителя. Давайте запишем уравнение в стандартной форме линейного дифференциального уравнения:

\[ y' + P(x)y = Q(x), \]

где \[ P(x) = \frac{x}{1-x^2} \] и \[ Q(x) = \frac{1}{1-x^2}. \]

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) определяется как: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{x}{1-x^2} \, dx}. \]

Для нахождения интеграла \(\int \frac{x}{1-x^2} \, dx\), используем подстановку: \(u = 1-x^2\), \(du = -2x \, dx\), то есть \(x \, dx = -\frac{1}{2} du\).

\[ \int \frac{x}{1-x^2} \, dx = \int -\frac{1}{2} \frac{1}{u} \, du = -\frac{1}{2} \ln|u| + C = -\frac{1}{2} \ln|1-x^2| + C. \]

Таким образом, интегрирующий множитель: \[ \mu(x) = e^{-\frac{1}{2} \ln|1-x^2|} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь мы можем умножить всё уравнение на интегрирующий множитель \(\mu(x)\): \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y' + \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}y = \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}. \]

Левую часть уравнения можно записать как производную: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}. \]

Шаг 3: Интегрирование

Интегрируем обе части: \[ \int \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx = \int \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} \, dx. \]

Левая часть интегрируется как: \[ \frac{y}{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} \, dx + C. \]

Правая часть требует специальной тригонометрической подстановки, но учитывая сложность её в рамках школьной программы, можно принять результат: \[ \int \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} \, dx = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + C, \]

где \(C\) — постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение будет: \[ \frac{y}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + C. \]

Шаг 4: Искомое выражение

Приведем к виду решения для \(y\): \[ y = x + C\sqrt{1-x^2}. \]

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.