Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой равнобедренная трапеция в которую можно вписать окружность с основаниями AB = 9 и CD = 4. Боковая грань ASD образует с плоскостью основания угол 60∘. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

**Решение:** Дано: - Вписанная окружность с радиусом r - Основания равнобедренной трапеции: AB = 9 и CD = 4 - Угол между боковой гранью ASD и плоскостью основания = 60° 1. **Площадь боковой поверхности пирамиды:** Поскольку боковая грань ASD образует угол 60° с плоскостью основания, это значит, что треугольник ASD - равносторонний. Рассмотрим треугольник ASD: - SD = AC = AB - CD = 9 - 4 = 5 - Угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 60 градусам Так как треугольник ASD - равносторонний, то высота пирамиды равна стороне треугольника, то есть h = SD = 5. Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле: \[ S_{side} = \frac{1}{2} \times perimeter_{ABCD} \times h \] Поскольку периметр равнобедренной трапеции ABCD можно выразить через стороны AB и CD, то: \[ perimeter_{ABCD} = AB + AD + CD + BC = AB + AD + CD + AB = 2 \times AB + AD \] Подставляем значения: \[ perimeter_{ABCD} = 2 \times 9 + 5 = 23 \] \[ S_{side} = \frac{1}{2} \times 23 \times 5 = \frac{115}{2} \] 2. **Площадь основания пирамиды:** Площадь основания равнобедренной трапеции можно найти, используя формулу для площади трапеции: \[ S_{base} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \] Подставляем известные значения: \[ S_{base} = \frac{1}{2} \times (9 + 4) \times 5 = \frac{65}{2} \] 3. **Площадь полной поверхности пирамиды:** Площадь полной поверхности пирамиды выражается как сумма площади боковой поверхности и двух оснований: \[ S_{total} = S_{side} + 2 \times S_{base} \] Подставляем значения: \[ S_{total} = \frac{115}{2} + 2 \times \frac{65}{2} = \frac{115}{2} + \frac{130}{2} = \frac{245}{2} \] Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна \( \frac{245}{2} \) или 122.5.