Найдите площадь треугольника abc,если a(1;-1;3); b(3;-1;1) и c(-1;1;-3)

Для решения задачи на нахождение площади треугольника в трёхмерном пространстве, заданного точками \( A(1, -1, 3) \), \( B(3, -1, 1) \) и \( C(-1, 1, -3) \), воспользуемся векторным методом.

Шаги:

1. Найдем векторы: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, -1-(-1), 1-3) = (2, 0, -2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, 1-(-1), -3-3) = (-2, 2, -6) \]

2. Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & -6 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(0 \cdot (-6) - (-2) \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot (-6) - (-2) \cdot (-2)) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 4) - \mathbf{j}(-12 - 4) + \mathbf{k}(4 + 0) \] \[ = 4\mathbf{i} + 16\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

3. Найдем длину вектора: \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + 16^2 + 4^2} \] \[ = \sqrt{16 + 256 + 16} = \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2} \]

4. Найдем площадь треугольника \( ABC \): \[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Ответ:

Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 6\sqrt{2} \).

Для второго задания, нужно решить уравнение:

\[ \frac{5}{3x} = \frac{9}{5} \]

1. Перемножим крест-накрест (найдём общий знаменатель): \[ 5 \cdot 5 = 9 \cdot 3x \]

2. Упрощаем уравнение: \[ 25 = 27x \]

3. Найдём \( x \): \[ x = \frac{25}{27} \]

Ответ:

Корень уравнения \( x = \frac{25}{27} \).