Решить

Давайте решим задачи из контрольной работы по теме "Тригонометрия". Я помогу вам подробно разобраться в каждой из них.

V вариант

1. Значение \(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\) равно:

   Значение \(\arcsin x\) – это угол \(\alpha\), \(-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}\), для которого \(\sin \alpha = x\).

   Для \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) угол \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) или \(\alpha = 45^\circ\) в первой четверти.

   Ответ: \(\frac{\pi}{4}\).

2. Разность \(\arccos 1 - \arctg 0\) равна:

   • \(\arccos 1 = 0\), так как \(\cos 0 = 1\).
   • \(\arctg 0 = 0\), так как \(\tan 0 = 0\).

   Разность \(0 - 0 = 0\).

   Ответ: 0.

3. Решение неравенства \(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\) – это:

   • \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\).
   • \(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\) на промежутке \(\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

   Ответ: \(\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right)\).

4. Решите уравнение: \(2\sin x = 1\):

   \[ \sin x = \frac{1}{2} \]

   Решение: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

   Ответ: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).

5. Найти корни уравнения:

   \[4\sin^2 x + 2\sin x = 0\]

   Разложим на множители:

   \[ 2\sin x (2\sin x + 1) = 0 \]

   Отсюда:

   \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x + 1 = 0 \]

   • \(\sin x = 0 \rightarrow x = k\pi\)
   • \(2\sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)

   Ответ: \(x = k\pi; x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi; x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi;\) где \(k \in \mathbb{Z}\).

VI вариант

1. Значение \(\arccos \frac{1}{2}\) равно:

   \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) соответствует углу \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) или \(\alpha = 60^\circ\).

   Ответ: \(\frac{\pi}{3}\).

2. Сумма \(\arctg 1 + \arctg \sqrt{3}\) равна:

   • \(\arctg 1 = \frac{\pi}{4}\), так как \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\).
   • \(\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}\), так как \(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\).

   Сумма: \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\).

   Ответ: \(\frac{7\pi}{12}\).

3. Решение неравенства \(\cos x < 0\) – это:

   \(\cos x < 0\) в интервалах \(\left( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right)\).

   Ответ: \(\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right)\).

4. Решите уравнение: \(1 - \cos^2 x = \frac{1}{2}\):

   \[ \sin^2 x = \frac{1}{2} \]

   \[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

   • \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\)
   • \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\)

   Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi; x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi; x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi; x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\).

5. Найти корни уравнения:

   \[3\sin 2x + \sin x = 0\]

   Разложим:

   \[ \sin x (3\cos x + 1) = 0 \]

   Отсюда:

   • \(\sin x = 0 \rightarrow x = k\pi\)
   • \(3\cos x + 1 = 0 \rightarrow \cos x = -\frac{1}{3} \rightarrow x = \pm \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi\)

   Ответ: \(x = k\pi; x = \pm \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Если нужны дополнительные разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!