Решить

Давайте решим задачи из контрольной работы по теме "Тригонометрия". Я помогу вам подробно разобраться в каждой из них. ### V вариант 1. **Значение \(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\) равно:** Значение \(\arcsin x\) – это угол \(\alpha\), \(-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}\), для которого \(\sin \alpha = x\). Для \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) угол \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) или \(\alpha = 45^\circ\) в первой четверти. **Ответ: \(\frac{\pi}{4}\).** 2. **Разность \(\arccos 1 - \arctg 0\) равна:** - \(\arccos 1 = 0\), так как \(\cos 0 = 1\). - \(\arctg 0 = 0\), так как \(\tan 0 = 0\). Разность \(0 - 0 = 0\). **Ответ: 0.** 3. **Решение неравенства \(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\) – это:** - \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\). - \(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\) на промежутке \(\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right)\), где \(k \in \mathbb{Z}\). **Ответ: \(\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right)\).** 4. **Решите уравнение: \(2\sin x = 1\):** \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Решение: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). **Ответ: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).** 5. **Найти корни уравнения:** \[4\sin^2 x + 2\sin x = 0\] Разложим на множители: \[ 2\sin x (2\sin x + 1) = 0 \] Отсюда: \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x + 1 = 0 \] - \(\sin x = 0 \rightarrow x = k\pi\) - \(2\sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) **Ответ: \(x = k\pi; x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi; x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi;\) где \(k \in \mathbb{Z}\).** ### VI вариант 1. **Значение \(\arccos \frac{1}{2}\) равно:** \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) соответствует углу \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) или \(\alpha = 60^\circ\). **Ответ: \(\frac{\pi}{3}\).** 2. **Сумма \(\arctg 1 + \arctg \sqrt{3}\) равна:** - \(\arctg 1 = \frac{\pi}{4}\), так как \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\). - \(\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}\), так как \(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\). Сумма: \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\). **Ответ: \(\frac{7\pi}{12}\).** 3. **Решение неравенства \(\cos x < 0\) – это:** \(\cos x < 0\) в интервалах \(\left( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right)\). **Ответ: \(\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right)\).** 4. **Решите уравнение: \(1 - \cos^2 x = \frac{1}{2}\):** \[ \sin^2 x = \frac{1}{2} \] \[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] - \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) - \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) **Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi; x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi; x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi; x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\).** 5. **Найти корни уравнения:** \[3\sin 2x + \sin x = 0\] Разложим: \[ \sin x (3\cos x + 1) = 0 \] Отсюда: - \(\sin x = 0 \rightarrow x = k\pi\) - \(3\cos x + 1 = 0 \rightarrow \cos x = -\frac{1}{3} \rightarrow x = \pm \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi\) **Ответ: \(x = k\pi; x = \pm \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).** Если нужны дополнительные разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!