Для решения уравнения (\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = 1), начнем с анализа свойств функции синуса.
1. Свойства функции синуса:
Синус принимает значение 1 в точках:
[
\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
]
2. Решение уравнения:
Наше уравнение:
[
\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = 1
]
Это уравнение будет истинным, если аргумент синуса равен (\frac{\pi}{2} + 2\pi k).
Запишем:
[
\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k
]
3. Избавляемся от дробей:
Вычтем (\frac{\pi}{4}) из обеих частей:
[
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k
]
Упростим:
[
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k
]
4. Решаем относительно (x):
Умножим обе части на 3:
[
x = 3\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)
]
Раскроем скобки:
[
x = \frac{3\pi}{4} + 6\pi k
]
5. Заключительный ответ:
Получили, что общее решение уравнения:
[
x = \frac{3\pi}{4} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Таким образом, (x) принимает значения вида (\frac{3\pi}{4}) плюс любой кратный (6\pi).
