Решить уравнение

Для решения уравнения \(\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = 1\), начнем с анализа свойств функции синуса.

1. Свойства функции синуса:

Синус принимает значение 1 в точках: \[ \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Решение уравнения:

Наше уравнение: \[ \sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \] Это уравнение будет истинным, если аргумент синуса равен \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\).

Запишем: \[ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]

3. Избавляемся от дробей:

Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей: \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \] Упростим: \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

4. Решаем относительно \(x\):

Умножим обе части на 3: \[ x = 3\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) \]

Раскроем скобки: \[ x = \frac{3\pi}{4} + 6\pi k \]

5. Заключительный ответ:

Получили, что общее решение уравнения: \[ x = \frac{3\pi}{4} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, \(x\) принимает значения вида \(\frac{3\pi}{4}\) плюс любой кратный \(6\pi\).