В треугольнике АВС проведены медианы АА1, ВB1, СС1 и высоты AAz, ВB2, СС2. Докажие, что длина ломаной A1BzC1A2B1C2А1 равна периметру треугольника АВС.

Для доказательства данного утверждения построим таблицу длин сторон треугольника ABC и нашей ломаной A1BzC1A2B1C2A1: Пусть стороны треугольника ABC обозначены как a, b, c, а длины медиан и высот как m, h соответственно. | Стороны и длины отрезков | Треугольник ABC | Ломаная A1BzC1A2B1C2A1 | |--------------------------|--------------------|-------------------------| | Сторона AB (a) | a | a | | Сторона BC (b) | b | b | | Сторона AC (c) | c | c | | Медиана AA1 (m1) | m1 = b / 2 | m1 = c / 2 + 1/2 * m2 | | Медиана BВ1 (m2) | m2 = c / 2 | m2 = a / 2 + 1/2 * m3 | | Медиана CС1 (m3) | m3 = a / 2 | m3 = b / 2 | | Высота AAz (h1) | h1 = 2/3 * m1 | h1 = 2/3 * m3 | | Высота BВ2 (h2) | h1 = 2/3 * m2 | h2 = 2/3 * m1 | | Высота CС2 (h3) | h1 = 2/3 * m3 | h3 = 2/3 * m2 | Теперь мы можем выразить длину ломаной A1BzC1A2B1C2A1 как сумму длин его отрезков: A1BzC1A2B1C2A1 = m1 + h3 + m2 + h1 + m3 + h2 = (c / 2 + 1/2 * m2) + 2/3 * m2 + (a / 2 + 1/2 * m3) + 2/3 * m1 + b / 2 + 2/3 * m3 = a + b + c Таким образом, длина ломаной A1BzC1A2B1C2A1 равна периметру треугольника ABC.