3tg²x+tgx-2=0
Дано уравнение: \(3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0\).
Для решения подобных уравнений будем использовать замену переменной, допустим, \(u = \tan x\). Тогда уравнение примет вид:
\[3u^2 + u - 2 = 0.\]
Далее решим это квадратное уравнение с помощью обычной формулы \(D = b^2 - 4ac\).
Находим дискриминант:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25.\]Находим корни уравнения:
\[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{6}.\]
Таким образом, получаем два возможных значения \(u\):
\[u_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\]
\[u_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1.\]
Теперь, когда мы нашли значения \(u\), необходимо вернуться к исходной переменной \(x\). Поскольку \(\tan x = u\), то:
\[2/3 = \tan x_1, \ \ x_1 = \arctan(2/3) + \pi k, \ \ k \in Z;\]
\[-1 = \tan x_2, \ \ x_2 = \arctan(-1) + \pi k, \ \ k \in Z.\]
Таким образом, решение уравнения будет состоять из всех значений \(x_1\) и \(x_2\), когда k - целое число.
