Дано уравнение: (3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0).
Для решения подобных уравнений будем использовать замену переменной, допустим, (u = \tan x). Тогда уравнение примет вид:
[3u^2 + u - 2 = 0.]
Далее решим это квадратное уравнение с помощью обычной формулы (D = b^2 - 4ac).
Находим дискриминант:
[D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25.]
Находим корни уравнения:
[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{6}.]
Таким образом, получаем два возможных значения (u):
[u_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};]
[u_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1.]
Теперь, когда мы нашли значения (u), необходимо вернуться к исходной переменной (x). Поскольку (\tan x = u), то:
[2/3 = \tan x_1, \ \ x_1 = \arctan(2/3) + \pi k, \ \ k \in Z;]
[-1 = \tan x_2, \ \ x_2 = \arctan(-1) + \pi k, \ \ k \in Z.]
Таким образом, решение уравнения будет состоять из всех значений (x_1) и (x_2), когда k - целое число.
